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Quadratische Ergänzung – Interaktiver Aufgabengenerator

Artikel zum Nachlesen: Quadratische Ergänzung

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Quadratische Ergänzung erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren, prozedural generierten Übungsaufgaben. Er unterstützt dich dabei, die Aufgaben zu lösen, das Thema ausgiebig zu üben und zu verstehen. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Schritt-für-Schritt Musterlösung und bietet dir zudem die Möglichkeit, deine eigenen Lösungen direkt zu überprüfen. Alle Lösungen und Lösungswege werden deterministisch mithilfe der zugrundeliegenden mathematischen Verfahren berechnet. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte und eigene Aufgaben im vollen Umfang zur Verfügung.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Die ausgewählten Beispiele ermöglichen es dir, einige Generator-Konfigurationen und die verfügbare Unterstützung beim Lösen der Aufgaben unverbindlich und in aller Ruhe kennenzulernen.

Aufgabe 1 von 5

Bestimme die ganzzahligen Lösungen der nachfolgenden quadratischen Gleichung mithilfe der quadratischen Ergänzung.

\[x^2 - 5x + 6 = 0\]

Aufgabe 2 von 5

Bestimme die ganzzahligen Lösungen der nachfolgenden quadratischen Gleichung mithilfe der quadratischen Ergänzung.

\[2x^2 + 5x + 1 = 2x + 3\]

Aufgabe 3 von 5

Bestimme die rationalen Lösungen der nachfolgenden quadratischen Gleichung mithilfe der quadratischen Ergänzung.

\[x^2 + 2x + \frac{5}{4} = 0\]

Aufgabe 4 von 5

Bestimme die komplexen Lösungen der nachfolgenden quadratischen Gleichung mithilfe der quadratischen Ergänzung.

\[x^2 + 2x + \frac{5}{4} = 0\]

Aufgabe 5 von 5

Bestimme die komplexen Lösungen der nachfolgenden quadratischen Gleichung mithilfe der quadratischen Ergänzung.

\[x^2 + \left(-\frac{1}{2} - \frac{4}{3}\mathrm{i}\right)x = \frac{1}{3} - \frac{1}{2}\mathrm{i}\]
Aufgabengenerator

Aufgabengenerator

Der Aufgabengenerator ermöglicht es dir, beliebig viele, an deine individuellen Bedürfnisse angepasste Aufgaben zu generieren, um dich perfekt mit dem Thema vertraut zu machen.

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Konfiguration anpassen

Konfiguriere den Aufgabengenerator nach deinen Wünschen – von einfachen Beispielen bis zu anspruchsvollen Herausforderungen.

Lege fest, welchen Typ die Lösungen der quadratischen Gleichung haben sollen: Zur Auswahl stehen ganze Zahlen $\Z$, rationale Zahlen $\Q$ und komplexe Zahlen $\C$.

Hier könnte deine generierte Aufgabe stehen!
Eigene Aufgabe

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Löse deine eigenen Aufgaben oder lasse deiner Neugier freien Lauf – mit voller Unterstützung des Generators.

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Gib an, aus welchen Zahlenbereichen die Koeffizienten der Gleichung sowie die zu bestimmenden Lösungen stammen sollen.

Gib die quadratische Gleichung ein, deren rationale Lösungen mithilfe der quadratischen Ergänzung berechnet werden sollen.

Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung: Beispielaufgabe 1 von 5

Die quadratische Gleichung kann mithilfe quadratischer Ergänzung wie folgt gelöst werden:

  1. Normieren der Gleichung.

    Die quadratische Gleichung liegt bereits in normierter Form vor.

    \[\begin{align*}
    x^2 - 5x + 6 &= 0
    \end{align*}\]
  2. Aufteilen der Gleichung.

    Da der konstante Term auf der linken Seite der Gleichung ungleich Null ist, wird die Gleichung im zweiten Schritt aufgeteilt, sodass alle Terme, die von der Variable abhängen, auf der linken und alle konstanten Terme entsprechend auf der rechten Seite der Gleichung stehen.

    \[x^2 - 5x = -6\]
  3. Quadratische Ergänzung.

    Im dritten Schritt wird die linke Seite in die Form $ {x}^2 + 2dx + d^2$ gebracht, indem auf beiden Seiten der Gleichung $d^2$ addiert wird. Aus $2dx = -5x$ folgt unmittelbar $d = -\frac{5}{2}$ und somit $d^2 = \frac{25}{4}$.

    \[x^2 - 5x + \frac{25}{4} = \frac{1}{4}\]
  4. Anwenden der binomischen Formeln.

    Mithilfe der zweiten binomischen Formel kann die linke Seite der Gleichung nun als Quadrat geschrieben werden.

    \[{\left(x - \frac{5}{2}\right)}^2 = \frac{1}{4}\]
  5. Wurzelziehen.

    Im fünften Schritt wird anschließend auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel gezogen.

    \[x - \frac{5}{2} = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}\]
  6. Ausrechnen der Lösung.

    Im letzten Schritt kann die Gleichung nach der Variable umgestellt und die Lösung abgelesen werden.

    \[x = \frac{5}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}}\]

    Da der Wert unter der Wurzel – die Diskriminante – größer als Null ist, besitzt die quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen.

    \[\begin{align*}
    {x}_{1/2} &= \frac{5}{2} \pm \frac{1}{2} \\[1.5em]
    \implies {x}_1 &= 2 \\[0.5em]
    {x}_2 &= 3
    \end{align*}\]

    Es handelt sich bei beiden Lösungen ebenfalls um ganzzahlige Lösungen.

Musterlösung: Beispielaufgabe 2 von 5

Die quadratische Gleichung kann mithilfe quadratischer Ergänzung wie folgt gelöst werden:

  1. Normieren der Gleichung.

    Zunächst wird die quadratische Gleichung zusammengefasst und normiert.

    \[\begin{align*}
    2x^2 + 3x - 2 &= 0 \\[0.5em]
    x^2 + \frac{3}{2}x - 1 &= 0
    \end{align*}\]
  2. Aufteilen der Gleichung.

    Da der konstante Term auf der linken Seite der Gleichung ungleich Null ist, wird die Gleichung im zweiten Schritt aufgeteilt, sodass alle Terme, die von der Variable abhängen, auf der linken und alle konstanten Terme entsprechend auf der rechten Seite der Gleichung stehen.

    \[x^2 + \frac{3}{2}x = 1\]
  3. Quadratische Ergänzung.

    Im dritten Schritt wird die linke Seite in die Form $ {x}^2 + 2dx + d^2$ gebracht, indem auf beiden Seiten der Gleichung $d^2$ addiert wird. Aus $2dx = \frac{3}{2}x$ folgt unmittelbar $d = \frac{3}{4}$ und somit $d^2 = \frac{9}{16}$.

    \[x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}\]
  4. Anwenden der binomischen Formeln.

    Mithilfe der ersten binomischen Formel kann die linke Seite der Gleichung nun als Quadrat geschrieben werden.

    \[{\left(x + \frac{3}{4}\right)}^2 = \frac{25}{16}\]
  5. Wurzelziehen.

    Im fünften Schritt wird anschließend auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel gezogen.

    \[x + \frac{3}{4} = \pm \sqrt{\frac{25}{16}}\]
  6. Ausrechnen der Lösung.

    Im letzten Schritt kann die Gleichung nach der Variable umgestellt und die Lösung abgelesen werden.

    \[x = -\frac{3}{4}\pm \sqrt{\frac{25}{16}}\]

    Da der Wert unter der Wurzel – die Diskriminante – größer als Null ist, besitzt die quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen.

    \[\begin{align*}
    {x}_{1/2} &= -\frac{3}{4} \pm \frac{5}{4} \\[1.5em]
    \implies {x}_1 &= -2 \\[0.5em]
    {x}_2 &= \frac{1}{2}
    \end{align*}\]

    Es handelt sich nur bei der ersten Lösung um eine ganzzahlige Lösung.

Musterlösung: Beispielaufgabe 3 von 5

Die quadratische Gleichung kann mithilfe quadratischer Ergänzung wie folgt gelöst werden:

  1. Normieren der Gleichung.

    Die quadratische Gleichung liegt bereits in normierter Form vor.

    \[\begin{align*}
    x^2 + 2x + \frac{5}{4} &= 0
    \end{align*}\]
  2. Aufteilen der Gleichung.

    Da der konstante Term auf der linken Seite der Gleichung ungleich Null ist, wird die Gleichung im zweiten Schritt aufgeteilt, sodass alle Terme, die von der Variable abhängen, auf der linken und alle konstanten Terme entsprechend auf der rechten Seite der Gleichung stehen.

    \[x^2 + 2x = -\frac{5}{4}\]
  3. Quadratische Ergänzung.

    Im dritten Schritt wird die linke Seite in die Form $ {x}^2 + 2dx + d^2$ gebracht, indem auf beiden Seiten der Gleichung $d^2$ addiert wird. Aus $2dx = 2x$ folgt unmittelbar $d = 1$ und somit $d^2 = 1$.

    \[x^2 + 2x + 1 = -\frac{1}{4}\]
  4. Anwenden der binomischen Formeln.

    Mithilfe der ersten binomischen Formel kann die linke Seite der Gleichung nun als Quadrat geschrieben werden.

    \[{\left(x + 1\right)}^2 = -\frac{1}{4}\]
  5. Wurzelziehen.

    Im fünften Schritt wird anschließend auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel gezogen.

    \[x + 1 = \pm \sqrt{-\frac{1}{4}}\]
  6. Ausrechnen der Lösung.

    Im letzten Schritt kann die Gleichung nach der Variable umgestellt und die Lösung abgelesen werden.

    \[x = -1\pm \sqrt{-\frac{1}{4}}\]

    Da der Wert unter der Wurzel – die Diskriminante – kleiner als Null ist, besitzt die quadratische Gleichung keine reellen Lösungen – und somit auch keine rationalen Lösungen.

Musterlösung: Beispielaufgabe 4 von 5

Die quadratische Gleichung kann mithilfe quadratischer Ergänzung wie folgt gelöst werden:

  1. Normieren der Gleichung.

    Die quadratische Gleichung liegt bereits in normierter Form vor.

    \[\begin{align*}
    x^2 + 2x + \frac{5}{4} &= 0
    \end{align*}\]
  2. Aufteilen der Gleichung.

    Da der konstante Term auf der linken Seite der Gleichung ungleich Null ist, wird die Gleichung im zweiten Schritt aufgeteilt, sodass alle Terme, die von der Variable abhängen, auf der linken und alle konstanten Terme entsprechend auf der rechten Seite der Gleichung stehen.

    \[x^2 + 2x = -\frac{5}{4}\]
  3. Quadratische Ergänzung.

    Im dritten Schritt wird die linke Seite in die Form $ {x}^2 + 2dx + d^2$ gebracht, indem auf beiden Seiten der Gleichung $d^2$ addiert wird. Aus $2dx = 2x$ folgt unmittelbar $d = 1$ und somit $d^2 = 1$.

    \[x^2 + 2x + 1 = -\frac{1}{4}\]
  4. Anwenden der binomischen Formeln.

    Mithilfe der ersten binomischen Formel kann die linke Seite der Gleichung nun als Quadrat geschrieben werden.

    \[{\left(x + 1\right)}^2 = -\frac{1}{4}\]
  5. Wurzelziehen.

    Im fünften Schritt wird anschließend auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel gezogen.

    \[x + 1 = \pm \sqrt{-\frac{1}{4}}\]
  6. Ausrechnen der Lösung.

    Im letzten Schritt kann die Gleichung nach der Variable umgestellt und die Lösung abgelesen werden.

    \[x = -1\pm \sqrt{-\frac{1}{4}}\]

    Da der Wert unter der Wurzel – die Diskriminante – kleiner als Null ist, besitzt die quadratische Gleichung zwei konjugiert komplexe Lösungen.

    \[\begin{align*}
    {x}_{1/2} &= -1 \pm \frac{1}{2}\mathrm{i} \\[1.5em]
    \implies {x}_1 &= -1 - \frac{1}{2}\mathrm{i} \\[0.5em]
    {x}_2 &= -1 + \frac{1}{2}\mathrm{i}
    \end{align*}\]

    Es handelt sich bei beiden Lösungen ebenfalls um komplexe Lösungen.

Musterlösung: Beispielaufgabe 5 von 5

Die quadratische Gleichung kann mithilfe quadratischer Ergänzung wie folgt gelöst werden:

  1. Normieren der Gleichung.

    Zunächst wird die quadratische Gleichung zusammengefasst und normiert.

    \[\begin{align*}
    x^2 + \left(-\frac{1}{2} - \frac{4}{3}\mathrm{i}\right)x - \frac{1}{3} + \frac{1}{2}\mathrm{i} &= 0
    \end{align*}\]
  2. Aufteilen der Gleichung.

    Da der konstante Term auf der linken Seite der Gleichung ungleich Null ist, wird die Gleichung im zweiten Schritt aufgeteilt, sodass alle Terme, die von der Variable abhängen, auf der linken und alle konstanten Terme entsprechend auf der rechten Seite der Gleichung stehen.

    \[x^2 + \left(-\frac{1}{2} - \frac{4}{3}\mathrm{i}\right)x = \frac{1}{3} - \frac{1}{2}\mathrm{i}\]
  3. Quadratische Ergänzung.

    Im dritten Schritt wird die linke Seite in die Form $ {x}^2 + 2dx + d^2$ gebracht, indem auf beiden Seiten der Gleichung $d^2$ addiert wird. Aus $2dx = \left(-\frac{1}{2} - \frac{4}{3}\mathrm{i}\right)x$ folgt unmittelbar $d = -\frac{1}{4} - \frac{2}{3}\mathrm{i}$ und somit $d^2 = -\frac{55}{144} + \frac{1}{3}\mathrm{i}$.

    \[x^2 + \left(-\frac{1}{2} - \frac{4}{3}\mathrm{i}\right)x - \frac{55}{144} + \frac{1}{3}\mathrm{i} = -\frac{7}{144} - \frac{1}{6}\mathrm{i}\]
  4. Anwenden der binomischen Formeln.

    Mithilfe der zweiten binomischen Formel kann die linke Seite der Gleichung nun als Quadrat geschrieben werden.

    \[{\left(x - \frac{1}{4} - \frac{2}{3}\mathrm{i}\right)}^2 = -\frac{7}{144} - \frac{1}{6}\mathrm{i}\]
  5. Wurzelziehen.

    Im fünften Schritt wird anschließend auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel gezogen.

    \[x - \frac{1}{4} - \frac{2}{3}\mathrm{i} = \pm \sqrt{-\frac{7}{144} - \frac{1}{6}\mathrm{i}}\]
  6. Ausrechnen der Lösung.

    Im letzten Schritt kann die Gleichung nach der Variable umgestellt und die Lösung abgelesen werden.

    \[x = \frac{1}{4} + \frac{2}{3}\mathrm{i}\pm \sqrt{-\frac{7}{144} - \frac{1}{6}\mathrm{i}}\]

    Da der Wert unter der Wurzel – die Diskriminante – ungleich Null ist, besitzt die quadratische Gleichung zwei komplexe Lösungen.

    \[\begin{align*}
    {x}_{1/2} &= \left(\frac{1}{4} + \frac{2}{3}\mathrm{i}\right) \pm \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{3}\mathrm{i}\right) \\[1.5em]
    \implies {x}_1 &= \mathrm{i} \\[0.5em]
    {x}_2 &= \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\mathrm{i}
    \end{align*}\]
Lösung überprüfen

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 1 von 5

Gib zunächst die Anzahl der ganzzahligen Lösungen ein.

Gib die gefundenen ganzzahligen Lösungen ein.

\[x_1=\]
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\[x_2=\]
$ 0$

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 2 von 5

Gib zunächst die Anzahl der ganzzahligen Lösungen ein.

Gib die gefundenen ganzzahligen Lösungen ein.

\[x_1=\]
$ 0$
\[x_2=\]
$ 0$

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 3 von 5

Gib zunächst die Anzahl der rationalen Lösungen ein.

Gib die gefundenen rationalen Lösungen ein.

\[x_1=\]
$ 0$
\[x_2=\]
$ 0$

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 4 von 5

Gib zunächst die Anzahl der komplexen Lösungen ein.

Gib die gefundenen komplexen Lösungen ein.

\[x_1=\]
$ 0$
\[x_2=\]
$ 0$

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 5 von 5

Gib zunächst die Anzahl der komplexen Lösungen ein.

Gib die gefundenen komplexen Lösungen ein.

\[x_1=\]
$ 0$
\[x_2=\]
$ 0$