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Aufgaben

Division von komplexen Zahlen – Interaktiver Aufgabengenerator

Artikel zum Nachlesen: Division von komplexen Zahlen

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Division von komplexen Zahlen (komplexe Division) erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren, prozedural generierten Übungsaufgaben. Er unterstützt dich dabei, die Aufgaben zu lösen, das Thema ausgiebig zu üben und zu verstehen. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Schritt-für-Schritt Musterlösung und bietet dir zudem die Möglichkeit, deine eigenen Lösungen direkt zu überprüfen. Alle Lösungen und Lösungswege werden deterministisch mithilfe der zugrundeliegenden mathematischen Verfahren berechnet. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte und eigene Aufgaben im vollen Umfang zur Verfügung.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Die ausgewählten Beispiele ermöglichen es dir, einige Generator-Konfigurationen und die verfügbare Unterstützung beim Lösen der Aufgaben unverbindlich und in aller Ruhe kennenzulernen.

Aufgabe 1 von 2

Berechne den Quotienten $\frac{z_1}{z_2}$ der nachfolgenden komplexen Zahlen mithilfe der komplexen Division.

\[\begin{align*}
z_1 &= 3 + 2\mathrm{i}\\[0.75em]
z_2 &= 2 + \mathrm{i}
\end{align*}\]

Gib das Ergebnis in der Form $a+ib$ an.

Aufgabe 2 von 2

Berechne den Quotienten $\frac{z_1}{z_2}$ der nachfolgenden komplexen Zahlen mithilfe der komplexen Division.

\[\begin{align*}
z_1 &= \frac{1}{2} + \frac{3}{2}\mathrm{i}\\[0.75em]
z_2 &= \frac{3}{2} + 2\mathrm{i}
\end{align*}\]

Gib das Ergebnis in der Form $a+ib$ an.

Aufgabengenerator

Aufgabengenerator

Der Aufgabengenerator ermöglicht es dir, beliebig viele, an deine individuellen Bedürfnisse angepasste Aufgaben zu generieren, um dich perfekt mit dem Thema vertraut zu machen. Auf Wunsch haben erzeugte Aufgaben garantiert ganzzahlige Lösungen und Rechenwege – für maximalen Fokus auf das zugrundeliegende Verfahren.

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Konfiguration anpassen

Konfiguriere den Aufgabengenerator nach deinen Wünschen – von einfachen Beispielen bis zu anspruchsvollen Herausforderungen.

Lege den Typ des Real- und Imaginärteils der komplexen Zahlen fest: Zur Auswahl stehen ganze Zahlen $\Z$ und rationale Zahlen $\Q$. Die Auswahl ganzzahliger Real-/Imaginärteile garantiert, dass sowohl die Lösung als auch der gesamte Rechenweg ganzzahlig bleiben.

Hier könnte deine generierte Aufgabe stehen!
Eigene Aufgabe

Eigene Aufgabe verwenden

Löse deine eigenen Aufgaben oder lasse deiner Neugier freien Lauf – mit voller Unterstützung des Generators.

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Gib zunächst den Typ der zu dividierenden komplexen Zahlen ein.

Gib die komplexen Zahlen ein, deren Quotient mithilfe der komplexen Division berechnet werden soll.

\[z_1=\]
$ 0$
\[z_2=\]
$ 0$

Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung: Beispielaufgabe 1 von 2

Bei der Division von komplexen Zahlen wird der Quotient berechnet, indem dieser zunächst mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners erweitert wird, um mithilfe der dritten binomischen Formel und der Eigenschaft $\mathrm{i}^2=-1$ die imaginäre Einheit $\mathrm{i}$ aus dem Nenner zu entfernen. Ausrechnen des Zählers mithilfe komplexer Multiplikation und anschließendes Zusammenfassen liefert das gesuchte Ergebnis.

Für den Quotienten $\frac{z_1}{z_2}$ ergibt sich somit:

\[\begin{align*}
\frac{z_1}{z_2}&= \displaystyle\frac{3 + 2\mathrm{i}}{2 + \mathrm{i}}\\[0.75em]
&= \displaystyle\frac{\left(3 + 2\mathrm{i}\right) \cdot {\color{blue}\left(2 - \mathrm{i}\right)}}{\left(2 + \mathrm{i}\right) \cdot {\color{blue}\left(2 - \mathrm{i}\right)}}\\[0.75em]
&= \displaystyle\frac{6-3i+4i-2i^2}{4-i^2}\\[0.75em]
&= \frac{8 + \mathrm{i}}{5}\\[0.75em]
&= \frac{8}{5} + \frac{1}{5}\mathrm{i}
\end{align*}\]

Musterlösung: Beispielaufgabe 2 von 2

Bei der Division von komplexen Zahlen wird der Quotient berechnet, indem dieser zunächst mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners erweitert wird, um mithilfe der dritten binomischen Formel und der Eigenschaft $\mathrm{i}^2=-1$ die imaginäre Einheit $\mathrm{i}$ aus dem Nenner zu entfernen. Ausrechnen des Zählers mithilfe komplexer Multiplikation und anschließendes Zusammenfassen liefert das gesuchte Ergebnis.

Für den Quotienten $\frac{z_1}{z_2}$ ergibt sich somit:

\[\begin{align*}
\frac{z_1}{z_2}&= \displaystyle\frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}\mathrm{i}}{\frac{3}{2} + 2\mathrm{i}}\\[0.75em]
&= \displaystyle\frac{\left(\frac{1}{2} + \frac{3}{2}\mathrm{i}\right) \cdot {\color{blue}\left(\frac{3}{2} - 2\mathrm{i}\right)}}{\left(\frac{3}{2} + 2\mathrm{i}\right) \cdot {\color{blue}\left(\frac{3}{2} - 2\mathrm{i}\right)}}\\[0.75em]
&= \displaystyle\frac{\frac{3}{4}-i+\frac{9}{4}i-3i^2}{\frac{9}{4}-4i^2}\\[0.75em]
&= \frac{\frac{15}{4} + \frac{5}{4}\mathrm{i}}{\frac{25}{4}}\\[0.75em]
&= \frac{3}{5} + \frac{1}{5}\mathrm{i}
\end{align*}\]
Lösung überprüfen

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 1 von 2

Gib den berechneten Quotienten ein.

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 2 von 2

Gib den berechneten Quotienten ein.