Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Rechnen mit komplexen Zahlen erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren, prozedural generierten Übungsaufgaben. Er unterstützt dich dabei, die Aufgaben zu lösen, das Thema ausgiebig zu üben und zu verstehen. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Schritt-für-Schritt Musterlösung und bietet dir zudem die Möglichkeit, deine eigenen Lösungen direkt zu überprüfen. Alle Lösungen und Lösungswege werden deterministisch mithilfe der zugrundeliegenden mathematischen Verfahren berechnet. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte im vollen Umfang zur Verfügung.
Aufgabe erstellen
Beispielaufgaben
Beispielaufgaben
Die ausgewählten Beispiele ermöglichen es dir, einige Generator-Konfigurationen und die verfügbare Unterstützung beim Lösen der Aufgaben unverbindlich und in aller Ruhe kennenzulernen.
Der Aufgabengenerator ermöglicht es dir, beliebig viele, an deine individuellen Bedürfnisse angepasste Aufgaben zu generieren, um dich perfekt mit dem Thema vertraut zu machen. Auf Wunsch haben erzeugte Aufgaben garantiert ganzzahlige Lösungen und Rechenwege – für maximalen Fokus auf das zugrundeliegende Verfahren.
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Konfiguration anpassen
Konfiguriere den Aufgabengenerator nach deinen Wünschen – von einfachen Beispielen bis zu anspruchsvollen Herausforderungen.
Lege die minimale und die maximale Anzahl der Operanden (jeweils von 2 bis 10) fest. Entscheide, ob die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division erlaubt oder nicht erlaubt sein sollen. Lege gegebenenfalls die minimale und die maximale Anzahl der Summanden pro Summe (jeweils von 2 bis 10), die minimale und die maximale Anzahl der Faktoren pro Produkt (jeweils von 2 bis 10) sowie die relativen Häufigkeiten fest, mit denen die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division auftreten sollen. Lege den Typ des Real- und Imaginärteils der komplexen Zahlen fest: Zur Auswahl stehen ganze Zahlen $\Z$ und rationale Zahlen $\Q$. Die Auswahl ganzzahliger Real-/Imaginärteile garantiert, dass sowohl die Lösung als auch der gesamte Rechenweg ganzzahlig bleiben.
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Hier könnte deine generierte Aufgabe stehen!
Aufgabe lösen
Musterlösung
Musterlösung: Beispielaufgabe 1 von 2
Bevor das Produkt $ \frac{\left(1 + 2\mathrm{i}\right) + \left(1 + 3\mathrm{i}\right)}{\left(1 + 2\mathrm{i}\right) - \left(1 + 3\mathrm{i}\right)} \cdot \left(2 + 3\mathrm{i}\right)$ berechnet werden kann, müssen zunächst alle Faktoren ausgerechnet werden:
Bevor der Quotient $ \frac{\left(1 + 2\mathrm{i}\right) + \left(1 + 3\mathrm{i}\right)}{\left(1 + 2\mathrm{i}\right) - \left(1 + 3\mathrm{i}\right)}$ berechnet werden kann, müssen zunächst der Dividend und der Divisor berechnet werden:
Ausrechnen des Dividenden $ \left(1 + 2\mathrm{i}\right) + \left(1 + 3\mathrm{i}\right)$ liefert den Wert $ 2 + 5\mathrm{i}$
Zum Berechnen des Quotienten von $z_1$ und $z_2$ wird dieser zunächst mit $\mathrm{i}$ erweitert, um die imaginäre Einheit $\mathrm{i}$ unter Zuhilfenahme der Eigenschaft $\mathrm{i}^2=-1$ aus dem Nenner zu entfernen. Ausrechnen des Zählers mithilfe komplexer Multiplikation und anschließendes Zusammenfassen liefert das gesuchte Ergebnis.
Für den Quotienten $\frac{z_1}{z_2}$ ergibt sich somit:
Bevor die Summe $ \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\mathrm{i}}{3\mathrm{i} \cdot \left(1 + \frac{1}{3}\mathrm{i}\right)} + \left(\frac{2}{5} + \frac{3}{5}\mathrm{i}\right) + \left(\frac{4}{5} + \frac{7}{2}\mathrm{i}\right)$ berechnet werden kann, müssen zunächst alle Summanden ausgerechnet werden.
Ausrechnen des Summanden $ \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\mathrm{i}}{3\mathrm{i} \cdot \left(1 + \frac{1}{3}\mathrm{i}\right)}$ liefert den Wert $ -\frac{1}{5} - \frac{1}{10}\mathrm{i}$
Bevor der Quotient $ \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\mathrm{i}}{3\mathrm{i} \cdot \left(1 + \frac{1}{3}\mathrm{i}\right)}$ berechnet werden kann, müssen zunächst der Dividend und der Divisor berechnet werden:
Ausrechnen des Divisors $ 3\mathrm{i} \cdot \left(1 + \frac{1}{3}\mathrm{i}\right)$ liefert den Wert $ -1 + 3\mathrm{i}$
Bei der Division von komplexen Zahlen wird der Quotient berechnet, indem dieser zunächst mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners erweitert wird, um mithilfe der dritten binomischen Formel und der Eigenschaft $\mathrm{i}^2=-1$ die imaginäre Einheit $\mathrm{i}$ aus dem Nenner zu entfernen. Ausrechnen des Zählers mithilfe komplexer Multiplikation und anschließendes Zusammenfassen liefert das gesuchte Ergebnis.
Für den Quotienten $\frac{z_1}{z_2}$ ergibt sich somit:
Die Summe $ \left(-\frac{1}{5}\right) + \frac{2}{5} + \frac{4}{5}$ kann direkt zu einem Bruch zusammengefasst und ausgerechnet werden, da alle Brüche bereits denselben Nenner besitzen.
Bevor die Summe $ \left(-\frac{1}{10}\right) + \frac{3}{5} + \frac{7}{2}$ berechnet werden kann, müssen zunächst alle Brüche auf denselben Nenner gebracht werden. Hierzu wird das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der einzelnen Nenner verwendet. Es gilt:
\[\operatorname{kgV}(10, 5, 2) = 10.\]
Um die Brüche auf den gemeinsamen Nenner $ 10$ zu bringen, müssen sie nun mit geeigneten Faktoren erweitert werden. Anschließend kann die Summe zu einem Bruch zusammengefasst und ausgerechnet werden.
