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Aufgaben

Eigenwerte einer Matrix – Interaktiver Aufgabengenerator

Artikel zum Nachlesen: Eigenwert

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Eigenwerte einer Matrix erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren, prozedural generierten Übungsaufgaben. Er unterstützt dich dabei, die Aufgaben zu lösen, das Thema ausgiebig zu üben und zu verstehen. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Schritt-für-Schritt Musterlösung und bietet dir zudem die Möglichkeit, deine eigenen Lösungen direkt zu überprüfen. Alle Lösungen und Lösungswege werden deterministisch mithilfe der zugrundeliegenden mathematischen Verfahren berechnet. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte und eigene Aufgaben im vollen Umfang zur Verfügung.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Die ausgewählten Beispiele ermöglichen es dir, einige Generator-Konfigurationen und die verfügbare Unterstützung beim Lösen der Aufgaben unverbindlich und in aller Ruhe kennenzulernen.

Aufgabe 1 von 3

Bestimme die ganzzahligen Eigenwerte der folgenden Matrix, deren Koeffizienten aus $ \Q$ stammen:

\[\begin{bmatrix} 7 & -10 \\ 5 & -8 \end{bmatrix}\]

Aufgabe 2 von 3

Bestimme die rationalen Eigenwerte der folgenden Matrix, deren Koeffizienten aus $ \Q$ stammen:

\[\begin{bmatrix} -3 & 10 & -15 \\ -2 & 6 & -6 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}\]

Aufgabe 3 von 3

Bestimme die rationalen Eigenwerte der folgenden Matrix, deren Koeffizienten aus $ \Q$ stammen:

\[\begin{bmatrix} -25 & 111 & 24 & -\frac{39}{2} \\ \frac{5}{2} & -12 & -\frac{5}{2} & \frac{5}{2} \\ -\frac{71}{2} & 161 & \frac{69}{2} & -\frac{59}{2} \\ 5 & -25 & -5 & \frac{11}{2} \end{bmatrix}\]

Hinweis: Bei den folgenden Werten handelt es sich um bereits bekannte Eigenwerte der Matrix.

\[\begin{align*}
\lambda_{1} &= \frac{1}{2}
\end{align*}\]
Aufgabengenerator

Aufgabengenerator

Der Aufgabengenerator ermöglicht es dir, beliebig viele, an deine individuellen Bedürfnisse angepasste Aufgaben zu generieren, um dich perfekt mit dem Thema vertraut zu machen. Auf Wunsch haben erzeugte Aufgaben garantiert ganzzahlige Lösungen und Rechenwege – für maximalen Fokus auf das zugrundeliegende Verfahren.

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Konfiguration anpassen

Konfiguriere den Aufgabengenerator nach deinen Wünschen – von einfachen Beispielen bis zu anspruchsvollen Herausforderungen.

Lege die Dimension der Matrix fest (von $1 \times 1$ bis $5 \times 5$) und entscheide, welchen Typ ihre Elemente haben sollen: Zur Auswahl stehen ganze Zahlen $\Z$, rationale Zahlen $\Q$ und Restklassenkörper $\Z_p$ mit einstellbarem $p$. Sofern dieser nicht durch den Typ der Elemente vorgegeben ist, kann zudem der Typ der Eigenwerte festgelegt werden – bspw. ganze oder rationale Zahlen. Die Auswahl ganzzahliger Elemente garantiert, dass sowohl die Lösung als auch der gesamte Rechenweg ganzzahlig bleiben.

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Hier könnte deine generierte Aufgabe stehen!
Eigene Aufgabe

Eigene Aufgabe verwenden

Löse deine eigenen Aufgaben oder lasse deiner Neugier freien Lauf – mit voller Unterstützung des Generators.

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Gib zunächst die Zahlenbereiche an, aus denen die Elemente der Matrix sowie die zu bestimmenden Eigenwerte stammen sollen:

Gib die Matrix ein, deren rationale Eigenwerte bestimmt werden soll:

$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$

Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung: Beispielaufgabe 1 von 3

Zum Bestimmen der Eigenwerte der Matrix muss zunächst das charakteristische Polynom bestimmt werden.

Bestimmung des charakteristischen Polynoms

Beim charakteristischen Polynom handelt es sich um die Determinante der charakteristischen Matrix $\lambda E - A$. Es gilt:

\[\begin{align*}
\chi_A(\lambda)
&= \det\left(\lambda E - A\right) \\[0.75em]
&= \det\left(\begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 7 & -10 \\ 5 & -8 \end{bmatrix}\right) \\[0.75em]
&= \det\begin{bmatrix} \lambda - 7 & 10 \\ -5 & \lambda + 8 \end{bmatrix}
\end{align*}\]

Die Determinante kann direkt berechnet werden:

\[\begin{align*} \det(A) &= \left(\lambda - 7\right) \cdot \left(\lambda + 8\right) - 10 \cdot \left(-5\right)\\[0.5em] &= \lambda^2 + \lambda - 6 \end{align*}\]

Insgesamt ergibt sich somit das folgende charakteristische Polynom:

\[\chi_A(\lambda) = \lambda^2 + \lambda - 6\]

Bei den Eigenwerten der Matrix handelt es sich um die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.

Bestimmung der Nullstellen des charakteristischen Polynoms

Zum Bestimmen der Nullstellen des Polynoms muss die folgende quadratische Gleichung gelöst werden.

\[\lambda^2 + \lambda - 6 = 0\]

Die quadratische Gleichung kann mithilfe der pq-Formel wie folgt gelöst werden:

  1. Zusammenfassen und Normieren der Gleichung.

    Die quadratische Gleichung liegt bereits in der normierten Form $ {\lambda}^2 + p \lambda + q = 0$ vor.

    \[\begin{align*}
    \lambda^2 + \lambda - 6 &= 0
    \end{align*}\]

    Es gilt $p=1$ und $q=-6$.

  2. Anwenden der pq-Formel.

    Die gesuchten Lösungen können mithilfe der pq-Formel direkt berechnet werden.

    \[\begin{align*}
    {\lambda}_{1/2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} \\[0.5em]
    &= -\,\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1^2}{4} - \left(-6\right)} \\[0.5em]
    &= -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}}
    \end{align*}\]
  3. Ausrechnen der Lösung.

    Da der Wert unter der Wurzel – die Diskriminante – größer als Null ist, besitzt die quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen.

    \[\begin{align*}
    {\lambda}_{1/2} &= -\frac{1}{2} \pm \frac{5}{2} \\[1.5em]
    \implies {\lambda}_1 &= -3 \\[0.5em]
    {\lambda}_2 &= 2
    \end{align*}\]

    Es handelt sich bei beiden Lösungen ebenfalls um ganzzahlige Lösungen.

Die Matrix besitzt somit die folgenden ganzzahligen Eigenwerte:

\[\begin{align*}
\lambda_{1} &= -3 \\[0.5em]
\lambda_{2} &= 2
\end{align*}\]

Musterlösung: Beispielaufgabe 2 von 3

Zum Bestimmen der Eigenwerte der Matrix muss zunächst das charakteristische Polynom bestimmt werden.

Bestimmung des charakteristischen Polynoms

Beim charakteristischen Polynom handelt es sich um die Determinante der charakteristischen Matrix $\lambda E - A$. Es gilt:

\[\begin{align*}
\chi_A(\lambda)
&= \det\left(\lambda E - A\right) \\[0.75em]
&= \det\left(\begin{bmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -3 & 10 & -15 \\ -2 & 6 & -6 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}\right) \\[0.75em]
&= \det\begin{bmatrix} \lambda + 3 & -10 & 15 \\ 2 & \lambda - 6 & 6 \\ 0 & 0 & \lambda - 2 \end{bmatrix}
\end{align*}\]

Die Determinante der $3 \times 3$ Matrix kann mithilfe der Regel von Sarrus direkt berechnet werden:

\[\begin{align*} \det(A) &= \left(\lambda + 3\right) \cdot \left(\lambda - 6\right) \cdot \left(\lambda - 2\right) + \left(-10\right) \cdot 6 \cdot 0 + 15 \cdot 2 \cdot 0 \\[0.5em] &\quad {} - 15 \cdot \left(\lambda - 6\right) \cdot 0 - \left(\lambda + 3\right) \cdot 6 \cdot 0 - \left(-10\right) \cdot 2 \cdot \left(\lambda - 2\right)\\[0.5em] &= \lambda^3 - 5\lambda^2 + 8\lambda - 4 \end{align*}\]

Insgesamt ergibt sich somit das folgende charakteristische Polynom:

\[\chi_A(\lambda) = \lambda^3 - 5\lambda^2 + 8\lambda - 4\]

Bei den Eigenwerten der Matrix handelt es sich um die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.

Bestimmung der Nullstellen des charakteristischen Polynoms

Zum Bestimmen der Nullstellen des Polynoms muss die folgende Gleichung gelöst werden.

\[\lambda^3 - 5\lambda^2 + 8\lambda - 4 = 0\]

Die folgenden rationalen Nullstellen des Polynoms von Grad 3 wurden näherungsweise berechnet:

\[\begin{align*}
\lambda_1 &= 1 \\[0.5em]
\lambda_2 &= 2 \\[0.5em]
\lambda_3 &= 2\end{align*}\]

Die Matrix besitzt somit die folgenden rationalen Eigenwerte:

\[\begin{align*}
\lambda_{1} &= 1 \\[0.5em]
\lambda_{2} &= 2
\end{align*}\]

Musterlösung: Beispielaufgabe 3 von 3

Zum Bestimmen der Eigenwerte der Matrix muss zunächst das charakteristische Polynom bestimmt werden.

Bestimmung des charakteristischen Polynoms

Beim charakteristischen Polynom handelt es sich um die Determinante der charakteristischen Matrix $\lambda E - A$. Es gilt:

\[\begin{align*}
\chi_A(\lambda)
&= \det\left(\lambda E - A\right) \\[0.75em]
&= \det\left(\begin{bmatrix} \lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -25 & 111 & 24 & -\frac{39}{2} \\ \frac{5}{2} & -12 & -\frac{5}{2} & \frac{5}{2} \\ -\frac{71}{2} & 161 & \frac{69}{2} & -\frac{59}{2} \\ 5 & -25 & -5 & \frac{11}{2} \end{bmatrix}\right) \\[0.75em]
&= \det\begin{bmatrix} \lambda + 25 & -111 & -24 & \frac{39}{2} \\ -\frac{5}{2} & \lambda + 12 & \frac{5}{2} & -\frac{5}{2} \\ \frac{71}{2} & -161 & \lambda - \frac{69}{2} & \frac{59}{2} \\ -5 & 25 & 5 & \lambda - \frac{11}{2} \end{bmatrix}
\end{align*}\]

Die Determinante der Matrix wird mithilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes durch Entwicklung nach der ersten Zeile bestimmt.

\[\begin{align*}\det(A) &= \sum\limits_{j=1}^{4}{{(-1)}^{1+j} \cdot a_{1j} \cdot \det(A_{1j})}\\[0.75em]
&= \left(\lambda + 25\right) \cdot \det(A_{11}) + 111 \cdot \det(A_{12})-24 \cdot \det(A_{13})-\frac{39}{2} \cdot \det(A_{14}) \\[0.75em]
&= \left(\lambda + 25\right) \cdot \det\left(\begin{bmatrix} \lambda + 12 & \frac{5}{2} & -\frac{5}{2} \\ -161 & \lambda - \frac{69}{2} & \frac{59}{2} \\ 25 & 5 & \lambda - \frac{11}{2} \end{bmatrix}\right) + 111 \cdot \det\left(\begin{bmatrix} -\frac{5}{2} & \frac{5}{2} & -\frac{5}{2} \\ \frac{71}{2} & \lambda - \frac{69}{2} & \frac{59}{2} \\ -5 & 5 & \lambda - \frac{11}{2} \end{bmatrix}\right)-24 \cdot \det\left(\begin{bmatrix} -\frac{5}{2} & \lambda + 12 & -\frac{5}{2} \\ \frac{71}{2} & -161 & \frac{59}{2} \\ -5 & 25 & \lambda - \frac{11}{2} \end{bmatrix}\right)-\frac{39}{2} \cdot \det\left(\begin{bmatrix} -\frac{5}{2} & \lambda + 12 & \frac{5}{2} \\ \frac{71}{2} & -161 & \lambda - \frac{69}{2} \\ -5 & 25 & 5 \end{bmatrix}\right) \\[0.75em]
&= \left(\lambda + 25\right) \cdot \left(\lambda^3 - 28\lambda^2 + \frac{109}{4}\lambda - \frac{27}{4}\right) + 111 \cdot \left(-\frac{5}{2}\lambda^2 - \frac{5}{4}\lambda + \frac{5}{4}\right)-24 \cdot \left(-\frac{71}{2}\lambda^2 + \frac{97}{4}\lambda - \frac{13}{4}\right)-\frac{39}{2} \cdot \left(-5\lambda^2 - \frac{5}{2}\lambda + \frac{5}{2}\right) \\[0.75em]
&= \lambda^4 - 3\lambda^3 - \frac{3}{4}\lambda^2 + \frac{5}{2}\lambda - \frac{3}{4}
\end{align*}\]
Die Berechnung von $\det(A_{11})$ liefert $ \lambda^3 - 28\lambda^2 + \frac{109}{4}\lambda - \frac{27}{4}$.

Die Determinante der $3 \times 3$ Matrix kann mithilfe der Regel von Sarrus direkt berechnet werden:

\[\begin{align*} \det(A) &= \left(\lambda + 12\right) \cdot \left(\lambda - \frac{69}{2}\right) \cdot \left(\lambda - \frac{11}{2}\right) + \frac{5}{2} \cdot \frac{59}{2} \cdot 25 + \left(-\frac{5}{2}\right) \cdot \left(-161\right) \cdot 5 \\[0.5em] &\quad {} - \left(-\frac{5}{2}\right) \cdot \left(\lambda - \frac{69}{2}\right) \cdot 25 - \left(\lambda + 12\right) \cdot \frac{59}{2} \cdot 5 - \frac{5}{2} \cdot \left(-161\right) \cdot \left(\lambda - \frac{11}{2}\right)\\[0.5em] &= \lambda^3 - 28\lambda^2 + \frac{109}{4}\lambda - \frac{27}{4} \end{align*}\]
Die Berechnung von $\det(A_{12})$ liefert $ -\frac{5}{2}\lambda^2 - \frac{5}{4}\lambda + \frac{5}{4}$.

Die Determinante der $3 \times 3$ Matrix kann mithilfe der Regel von Sarrus direkt berechnet werden:

\[\begin{align*} \det(A) &= \left(-\frac{5}{2}\right) \cdot \left(\lambda - \frac{69}{2}\right) \cdot \left(\lambda - \frac{11}{2}\right) + \frac{5}{2} \cdot \frac{59}{2} \cdot \left(-5\right) + \left(-\frac{5}{2}\right) \cdot \frac{71}{2} \cdot 5 \\[0.5em] &\quad {} - \left(-\frac{5}{2}\right) \cdot \left(\lambda - \frac{69}{2}\right) \cdot \left(-5\right) - \left(-\frac{5}{2}\right) \cdot \frac{59}{2} \cdot 5 - \frac{5}{2} \cdot \frac{71}{2} \cdot \left(\lambda - \frac{11}{2}\right)\\[0.5em] &= -\frac{5}{2}\lambda^2 - \frac{5}{4}\lambda + \frac{5}{4} \end{align*}\]
Die Berechnung von $\det(A_{13})$ liefert $ -\frac{71}{2}\lambda^2 + \frac{97}{4}\lambda - \frac{13}{4}$.

Die Determinante der $3 \times 3$ Matrix kann mithilfe der Regel von Sarrus direkt berechnet werden:

\[\begin{align*} \det(A) &= \left(-\frac{5}{2}\right) \cdot \left(-161\right) \cdot \left(\lambda - \frac{11}{2}\right) + \left(\lambda + 12\right) \cdot \frac{59}{2} \cdot \left(-5\right) + \left(-\frac{5}{2}\right) \cdot \frac{71}{2} \cdot 25 \\[0.5em] &\quad {} - \left(-\frac{5}{2}\right) \cdot \left(-161\right) \cdot \left(-5\right) - \left(-\frac{5}{2}\right) \cdot \frac{59}{2} \cdot 25 - \left(\lambda + 12\right) \cdot \frac{71}{2} \cdot \left(\lambda - \frac{11}{2}\right)\\[0.5em] &= -\frac{71}{2}\lambda^2 + \frac{97}{4}\lambda - \frac{13}{4} \end{align*}\]
Die Berechnung von $\det(A_{14})$ liefert $ -5\lambda^2 - \frac{5}{2}\lambda + \frac{5}{2}$.

Die Determinante der $3 \times 3$ Matrix kann mithilfe der Regel von Sarrus direkt berechnet werden:

\[\begin{align*} \det(A) &= \left(-\frac{5}{2}\right) \cdot \left(-161\right) \cdot 5 + \left(\lambda + 12\right) \cdot \left(\lambda - \frac{69}{2}\right) \cdot \left(-5\right) + \frac{5}{2} \cdot \frac{71}{2} \cdot 25 \\[0.5em] &\quad {} - \frac{5}{2} \cdot \left(-161\right) \cdot \left(-5\right) - \left(-\frac{5}{2}\right) \cdot \left(\lambda - \frac{69}{2}\right) \cdot 25 - \left(\lambda + 12\right) \cdot \frac{71}{2} \cdot 5\\[0.5em] &= -5\lambda^2 - \frac{5}{2}\lambda + \frac{5}{2} \end{align*}\]

Insgesamt ergibt sich somit das folgende charakteristische Polynom:

\[\chi_A(\lambda) = \lambda^4 - 3\lambda^3 - \frac{3}{4}\lambda^2 + \frac{5}{2}\lambda - \frac{3}{4}\]

Bei den Eigenwerten der Matrix handelt es sich um die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.

Bestimmung der Nullstellen des charakteristischen Polynoms

Zunächst werden die bereits bekannten Nullstellen des Polynoms überprüft und die zugehörigen Linearfaktoren vom Polynom abgespalten:

  • Einsetzen des Werts $\xi = \frac{1}{2}$ in das Polynom $p(\lambda) = \lambda^4 - 3\lambda^3 - \frac{3}{4}\lambda^2 + \frac{5}{2}\lambda - \frac{3}{4}$ ergibt $p\left(\frac{1}{2}\right) = 0$. Es handelt sich bei $\xi = \frac{1}{2}$ somit um eine Nullstelle des Polynoms. Der zugehörige Linearfaktor $ \lambda - \frac{1}{2}$ kann vom Polynom abgespalten werden.

    Die Berechnung der Zerlegung mit Rest kann schrittweise mittels Polynomdivision durchgeführt werden.

    \begin{alignedat}{7}
    & & \llap{\biggl(} \lambda^4 & \,-\, & 3\lambda^3 & \,-\, & \frac{3}{4}\lambda^2 & \,+\, & \frac{5}{2}\lambda & \,-\, & \frac{3}{4}\rlap{\biggr)} & &\ \, : & \, \biggl(\lambda - \frac{1}{2}\biggr) = \lambda^3 - \frac{5}{2}\lambda^2 - 2\lambda + \frac{3}{2}\\[0.5em]
    & \phantom{-\biggl(}& \llap{-\biggl(} \lambda^4 & \,-\, & \frac{1}{2}\lambda^3\rlap{\biggr)} & & & & & & & & & \\[0.5em]\hline
    & & & \,-\, & \frac{5}{2}\lambda^3 & \,-\, & \frac{3}{4}\lambda^2 & \,+\, & \frac{5}{2}\lambda & \,-\, & \frac{3}{4} & & & \\[0.5em]
    & & & \llap{-\biggl(}\,-\, & \frac{5}{2}\lambda^3 & \,+\, & \frac{5}{4}\lambda^2\rlap{\biggr)} & & & & & & & \\[0.5em]\hline
    & & & & & \,-\, & 2\lambda^2 & \,+\, & \frac{5}{2}\lambda & \,-\, & \frac{3}{4} & & & \\[0.5em]
    & & & & & \llap{-\bigl(}\,-\, & 2\lambda^2 & \,+\, & \lambda\rlap{\bigr)} & & & & & \\[0.5em]\hline
    & & & & & & & & \frac{3}{2}\lambda & \,-\, & \frac{3}{4} & & & \\[0.5em]
    & & & & & & & & \llap{-\biggl(} \frac{3}{2}\lambda & \,-\, & \frac{3}{4}\rlap{\biggr)} & & & \\[0.5em]\hline
    & & & & & & & & & & 0 & & & \\[0.5em]
    \end{alignedat}

    Die Division der beiden Polynome liefert die folgende Zerlegung mit Rest:

    \[\underbrace{\lambda^4 - 3\lambda^3 - \frac{3}{4}\lambda^2 + \frac{5}{2}\lambda - \frac{3}{4}}_{=\ a(\lambda)} = \left(\underbrace{\lambda^3 - \frac{5}{2}\lambda^2 - 2\lambda + \frac{3}{2}}_{=\ q(\lambda)}\right) \cdot \left(\underbrace{\lambda - \frac{1}{2}}_{=\ b(\lambda)}\right)\]

    Da es sich bei $\xi = \frac{1}{2}$ um eine Nullstelle des Polynoms handelt, ist die Division ohne Rest möglich. Weitere Nullstellen, sofern vorhanden, sind im Quotienten $q(\lambda) = \lambda^3 - \frac{5}{2}\lambda^2 - 2\lambda + \frac{3}{2}$ enthalten.

Zum Bestimmen der verbleibenden Nullstellen des Polynoms muss die folgende Gleichung gelöst werden.

\[\lambda^3 - \frac{5}{2}\lambda^2 - 2\lambda + \frac{3}{2} = 0\]

Die folgenden rationalen Nullstellen des Polynoms von Grad 3 wurden näherungsweise berechnet:

\[\begin{align*}
\lambda_1 &= -1 \\[0.5em]
\lambda_2 &= \frac{1}{2} \\[0.5em]
\lambda_3 &= 3\end{align*}\]

Zusammengefasst besitzt das Polynom somit die folgenden rationalen Nullstellen:

\[\begin{align*}
\lambda_1 &= -1 \\[0.5em]
\lambda_2 &= \frac{1}{2} \\[0.5em]
\lambda_3 &= \frac{1}{2} \\[0.5em]
\lambda_4 &= 3\end{align*}\]

Die Matrix besitzt somit die folgenden rationalen Eigenwerte:

\[\begin{align*}
\lambda_{1} &= -1 \\[0.5em]
\lambda_{2} &= \frac{1}{2} \\[0.5em]
\lambda_{3} &= 3
\end{align*}\]
Lösung überprüfen

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 1 von 3

Gib zunächst die Anzahl der gefundenen ganzzahligen Eigenwerte ein.

Gib alle gefundenen ganzzahligen Eigenwerte ein. Mehrfach vorkommende Eigenwerte müssen nur einfach eingegeben werden.

\[\lambda_1=\]
$ 0$
\[\lambda_2=\]
$ 0$

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 2 von 3

Gib zunächst die Anzahl der gefundenen rationalen Eigenwerte ein.

Gib alle gefundenen rationalen Eigenwerte ein. Mehrfach vorkommende Eigenwerte müssen nur einfach eingegeben werden.

\[\lambda_1=\]
$ 0$
\[\lambda_2=\]
$ 0$

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 3 von 3

Gib zunächst die Anzahl der gefundenen rationalen Eigenwerte ein.

Gib alle gefundenen rationalen Eigenwerte ein. Mehrfach vorkommende Eigenwerte müssen nur einfach eingegeben werden.

\[\lambda_1=\]
$ 0$
\[\lambda_2=\]
$ 0$