Eigenvektoren einer Matrix – Interaktiver Aufgabengenerator
Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Eigenvektoren einer Matrix erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren, prozedural generierten Übungsaufgaben. Er unterstützt dich dabei, die Aufgaben zu lösen, das Thema ausgiebig zu üben und zu verstehen. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Schritt-für-Schritt Musterlösung. Alle Lösungen und Lösungswege werden deterministisch mithilfe der zugrundeliegenden mathematischen Verfahren berechnet. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte und eigene Aufgaben im vollen Umfang zur Verfügung.
Aufgabe erstellen
Beispielaufgaben
Die ausgewählten Beispiele ermöglichen es dir, einige Generator-Konfigurationen und die verfügbare Unterstützung beim Lösen der Aufgaben unverbindlich und in aller Ruhe kennenzulernen.
Aufgabe 1 von 3
Gegeben sei die folgende Matrix mit Koeffizienten aus $ \Q$:
Bestimme – falls vorhanden – die ganzzahligen Eigenwerte der Matrix sowie die zum jeweiligen Eigenwert gehörenden Eigenvektoren.
Aufgabe 2 von 3
Gegeben sei die folgende Matrix mit Koeffizienten aus $ \Q$:
Bestimme – falls vorhanden – die rationalen Eigenwerte der Matrix sowie die zum jeweiligen Eigenwert gehörenden Eigenvektoren.
Aufgabe 3 von 3
Gegeben sei die folgende Matrix mit Koeffizienten aus $ \Q$:
Darüber hinaus seien die folgenden Eigenwerte der Matrix gegeben:
\lambda_{1} &= \frac{1}{2}
\end{align*}\]
Bestimme – falls vorhanden – die verbleibenden rationalen Eigenwerte der Matrix sowie die zu den jeweiligen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren.
Aufgabengenerator
Der Aufgabengenerator ermöglicht es dir, beliebig viele, an deine individuellen Bedürfnisse angepasste Aufgaben zu generieren, um dich perfekt mit dem Thema vertraut zu machen.
Konfiguriere den Aufgabengenerator nach deinen Wünschen – von einfachen Beispielen bis zu anspruchsvollen Herausforderungen.
Lege die Dimension der Matrix fest (von $1 \times 1$ bis $5 \times 5$) und entscheide, welchen Typ ihre Elemente haben sollen: Zur Auswahl stehen ganze Zahlen $\Z$, rationale Zahlen $\Q$ und Restklassenkörper $\Z_p$ mit einstellbarem $p$. Sofern dieser nicht durch den Typ der Elemente vorgegeben ist, kann zudem der Typ der Eigenwerte festgelegt werden – bspw. ganze oder rationale Zahlen. Die Auswahl ganzzahliger Elemente garantiert, dass sowohl die Lösung als auch der gesamte Rechenweg ganzzahlig bleiben.
Eigene Aufgabe verwenden
Löse deine eigenen Aufgaben oder lasse deiner Neugier freien Lauf – mit voller Unterstützung des Generators.
Gib zunächst die Zahlenbereiche an, aus denen die Elemente der Matrix sowie die Eigenwerte stammen sollen, deren Eigenvektoren bestimmt werden sollen:
Gib die Matrix ein, deren Eigenvektoren bestimmt werden soll:
$ 0$ | $ 0$ | $ 0$ |
$ 0$ | $ 0$ | $ 0$ |
$ 0$ | $ 0$ | $ 0$ |
Aufgabe lösen
Musterlösung: Beispielaufgabe 1 von 3
Zunächst werden – falls vorhanden – die restlichen Eigenwerte der Matrix berechnet.
Zum Bestimmen der Eigenwerte der Matrix muss zunächst das charakteristische Polynom bestimmt werden.
Beim charakteristischen Polynom handelt es sich um die Determinante der charakteristischen Matrix $\lambda E - A$. Es gilt:
\chi_A(\lambda)
&= \det\left(\lambda E - A\right) \\[0.75em]
&= \det\left(\begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 7 & -10 \\ 5 & -8 \end{bmatrix}\right) \\[0.75em]
&= \det\begin{bmatrix} \lambda - 7 & 10 \\ -5 & \lambda + 8 \end{bmatrix}
\end{align*}\]
Die Determinante kann direkt berechnet werden:
Insgesamt ergibt sich somit das folgende charakteristische Polynom:
Bei den Eigenwerten der Matrix handelt es sich um die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.
Zum Bestimmen der Nullstellen des Polynoms muss die folgende quadratische Gleichung gelöst werden.
Die quadratische Gleichung kann mithilfe der pq-Formel wie folgt gelöst werden:
- Zusammenfassen und Normieren der Gleichung.
Die quadratische Gleichung liegt bereits in der normierten Form $ {\lambda}^2 + p \lambda + q = 0$ vor.
\[\begin{align*}
\lambda^2 + \lambda - 6 &= 0
\end{align*}\]Es gilt $p=1$ und $q=-6$.
- Anwenden der pq-Formel.
Die gesuchten Lösungen können mithilfe der pq-Formel direkt berechnet werden.
\[\begin{align*}
{\lambda}_{1/2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} \\[0.5em]
&= -\,\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1^2}{4} - \left(-6\right)} \\[0.5em]
&= -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}}
\end{align*}\] - Ausrechnen der Lösung.
Da der Wert unter der Wurzel – die Diskriminante – größer als Null ist, besitzt die quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen.
\[\begin{align*}
{\lambda}_{1/2} &= -\frac{1}{2} \pm \frac{5}{2} \\[1.5em]
\implies {\lambda}_1 &= -3 \\[0.5em]
{\lambda}_2 &= 2
\end{align*}\]Es handelt sich bei beiden Lösungen ebenfalls um ganzzahlige Lösungen.
Die Matrix besitzt somit die folgenden ganzzahligen Eigenwerte:
\lambda_{1} &= -3 \\[0.5em]
\lambda_{2} &= 2
\end{align*}\]
Mithilfe der Eigenwerte der Matrix können die zugehörigen Eigenvektoren berechnet werden.
Bei den Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda_{1} = -3$ handelt es sich um die Lösungen des folgenden homogenen linearen Gleichungssystems, die wie üblich mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens berechnet werden können:
\bigl(A - \lambda_{1} \cdot E\bigr) \cdot v
&= \left(\begin{bmatrix} 7 & -10 \\ 5 & -8 \end{bmatrix} - \left(-3\right) \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\right) \cdot v \\[0.75em]
&=\begin{bmatrix} 10 & -10 \\ 5 & -5 \end{bmatrix} \cdot v \\[0.75em]
&= 0.
\end{align*}\]
Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.
Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.
10 & -10 & 0 & \text{I} \cdot \frac{1}{10} \\[0.25em]
5 & -5 & 0 & \\[0.25em]
\hline
1 & -1 & 0 & \\[0.25em]
5 & -5 & 0 & \text{II} - 5 \cdot \text{I} \\[0.25em]
\hline
1 & -1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 &
\end{array}\]
Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden. Für die freie Variable wird der Parameter $ \mu_2 \in \Q$ verwendet.
v_2 &= \mu_2 \\[1em]
v_1 &= 0+v_2 \\[0.5em]
&= 0+\mu_2 \\[0.5em]
&= \mu_2
\end{align*}\]
Die gefundene Lösung kann alternativ auch in Parameterform dargestellt werden.
Bei dem folgenden Vektor handelt es sich folglich um einen Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_{1} = -3$:
Der zugehörige Eigenraum $\operatorname{Eig}(A,-3)$ besteht aus allen skalaren Vielfachen des Vektors $b$. Der Eigenwert besitzt somit die geometrische Vielfachheit $1$.
Bei den Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda_{2} = 2$ handelt es sich um die Lösungen des folgenden homogenen linearen Gleichungssystems, die wie üblich mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens berechnet werden können:
\bigl(A - \lambda_{2} \cdot E\bigr) \cdot v
&= \left(\begin{bmatrix} 7 & -10 \\ 5 & -8 \end{bmatrix} - 2 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\right) \cdot v \\[0.75em]
&=\begin{bmatrix} 5 & -10 \\ 5 & -10 \end{bmatrix} \cdot v \\[0.75em]
&= 0.
\end{align*}\]
Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.
Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.
5 & -10 & 0 & \text{I} \cdot \frac{1}{5} \\[0.25em]
5 & -10 & 0 & \\[0.25em]
\hline
1 & -2 & 0 & \\[0.25em]
5 & -10 & 0 & \text{II} - 5 \cdot \text{I} \\[0.25em]
\hline
1 & -2 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 &
\end{array}\]
Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden. Für die freie Variable wird der Parameter $ \mu_2 \in \Q$ verwendet.
v_2 &= \mu_2 \\[1em]
v_1 &= 0+2v_2 \\[0.5em]
&= 0+2\mu_2 \\[0.5em]
&= 2\mu_2
\end{align*}\]
Die gefundene Lösung kann alternativ auch in Parameterform dargestellt werden.
Bei dem folgenden Vektor handelt es sich folglich um einen Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_{2} = 2$:
Der zugehörige Eigenraum $\operatorname{Eig}(A,2)$ besteht aus allen skalaren Vielfachen des Vektors $b$. Der Eigenwert besitzt somit die geometrische Vielfachheit $1$.
Musterlösung: Beispielaufgabe 2 von 3
Zunächst werden – falls vorhanden – die restlichen Eigenwerte der Matrix berechnet.
Zum Bestimmen der Eigenwerte der Matrix muss zunächst das charakteristische Polynom bestimmt werden.
Beim charakteristischen Polynom handelt es sich um die Determinante der charakteristischen Matrix $\lambda E - A$. Es gilt:
\chi_A(\lambda)
&= \det\left(\lambda E - A\right) \\[0.75em]
&= \det\left(\begin{bmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -3 & 10 & -15 \\ -2 & 6 & -6 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}\right) \\[0.75em]
&= \det\begin{bmatrix} \lambda + 3 & -10 & 15 \\ 2 & \lambda - 6 & 6 \\ 0 & 0 & \lambda - 2 \end{bmatrix}
\end{align*}\]
Die Determinante der $3 \times 3$ Matrix kann mithilfe der Regel von Sarrus direkt berechnet werden:
Insgesamt ergibt sich somit das folgende charakteristische Polynom:
Bei den Eigenwerten der Matrix handelt es sich um die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.
Zum Bestimmen der Nullstellen des Polynoms muss die folgende Gleichung gelöst werden.
Die folgenden rationalen Nullstellen des Polynoms von Grad 3 wurden näherungsweise berechnet:
\lambda_1 &= 1 \\[0.5em]
\lambda_2 &= 2 \\[0.5em]
\lambda_3 &= 2\end{align*}\]
Die Matrix besitzt somit die folgenden rationalen Eigenwerte:
\lambda_{1} &= 1 \\[0.5em]
\lambda_{2} &= 2
\end{align*}\]
Mithilfe der Eigenwerte der Matrix können die zugehörigen Eigenvektoren berechnet werden.
Bei den Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda_{1} = 1$ handelt es sich um die Lösungen des folgenden homogenen linearen Gleichungssystems, die wie üblich mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens berechnet werden können:
\bigl(A - \lambda_{1} \cdot E\bigr) \cdot v
&= \left(\begin{bmatrix} -3 & 10 & -15 \\ -2 & 6 & -6 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} - 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\right) \cdot v \\[0.75em]
&=\begin{bmatrix} -4 & 10 & -15 \\ -2 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot v \\[0.75em]
&= 0.
\end{align*}\]
Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.
Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.
-4 & 10 & -15 & 0 & \text{I} \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) \\[0.25em]
-2 & 5 & -6 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & 0 & \\[0.25em]
\hline
1 & -\frac{5}{2} & \frac{15}{4} & 0 & \\[0.25em]
-2 & 5 & -6 & 0 & \text{II} + 2 \cdot \text{I} \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & 0 & \\[0.25em]
\hline
1 & -\frac{5}{2} & \frac{15}{4} & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & \frac{3}{2} & 0 & \text{II} \cdot \frac{2}{3} \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & 0 & \\[0.25em]
\hline
1 & -\frac{5}{2} & \frac{15}{4} & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & 0 & \text{III} - \text{II} \\[0.25em]
\hline
1 & -\frac{5}{2} & \frac{15}{4} & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 0 &
\end{array}\]
Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden. Für die freie Variable wird der Parameter $ \mu_2 \in \Q$ verwendet.
v_3 &= 0 \\[1em]
v_2 &= \mu_2 \\[1em]
v_1 &= 0+\frac{5}{2}v_2-\frac{15}{4}v_3 \\[0.5em]
&= 0+\frac{5}{2}\mu_2-\frac{15}{4} \cdot 0 \\[0.5em]
&= \frac{5}{2}\mu_2
\end{align*}\]
Die gefundene Lösung kann alternativ auch in Parameterform dargestellt werden.
Bei dem folgenden Vektor handelt es sich folglich um einen Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_{1} = 1$:
Der zugehörige Eigenraum $\operatorname{Eig}(A,1)$ besteht aus allen skalaren Vielfachen des Vektors $b$. Der Eigenwert besitzt somit die geometrische Vielfachheit $1$.
Bei den Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda_{2} = 2$ handelt es sich um die Lösungen des folgenden homogenen linearen Gleichungssystems, die wie üblich mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens berechnet werden können:
\bigl(A - \lambda_{2} \cdot E\bigr) \cdot v
&= \left(\begin{bmatrix} -3 & 10 & -15 \\ -2 & 6 & -6 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} - 2 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\right) \cdot v \\[0.75em]
&=\begin{bmatrix} -5 & 10 & -15 \\ -2 & 4 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot v \\[0.75em]
&= 0.
\end{align*}\]
Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.
Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.
-5 & 10 & -15 & 0 & \text{I} \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) \\[0.25em]
-2 & 4 & -6 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 0 & \\[0.25em]
\hline
1 & -2 & 3 & 0 & \\[0.25em]
-2 & 4 & -6 & 0 & \text{II} + 2 \cdot \text{I} \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 0 & \\[0.25em]
\hline
1 & -2 & 3 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 0 &
\end{array}\]
Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden. Für die freien Variablen werden die Parameter $ \mu_2, \mu_3 \in \Q$ verwendet.
v_3 &= \mu_3 \\[1em]
v_2 &= \mu_2 \\[1em]
v_1 &= 0+2v_2-3v_3 \\[0.5em]
&= 0+2\mu_2-3\mu_3 \\[0.5em]
&= 2\mu_2-3\mu_3
\end{align*}\]
Die gefundene Lösung kann alternativ auch in Parameterform dargestellt werden.
Bei den folgenden Vektoren handelt es sich folglich um linear unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda_{2} = 2$:
Beim Eigenraum $\operatorname{Eig}(A,2)$ handelt es sich um die lineare Hülle der Eigenvektoren $ b_1,b_2$. Der Eigenwert besitzt somit die geometrische Vielfachheit $ 2$.
Musterlösung: Beispielaufgabe 3 von 3
Zunächst werden – falls vorhanden – die restlichen Eigenwerte der Matrix berechnet.
Zum Bestimmen der Eigenwerte der Matrix muss zunächst das charakteristische Polynom bestimmt werden.
Beim charakteristischen Polynom handelt es sich um die Determinante der charakteristischen Matrix $\lambda E - A$. Es gilt:
\chi_A(\lambda)
&= \det\left(\lambda E - A\right) \\[0.75em]
&= \det\left(\begin{bmatrix} \lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -25 & 111 & 24 & -\frac{39}{2} \\ \frac{5}{2} & -12 & -\frac{5}{2} & \frac{5}{2} \\ -\frac{71}{2} & 161 & \frac{69}{2} & -\frac{59}{2} \\ 5 & -25 & -5 & \frac{11}{2} \end{bmatrix}\right) \\[0.75em]
&= \det\begin{bmatrix} \lambda + 25 & -111 & -24 & \frac{39}{2} \\ -\frac{5}{2} & \lambda + 12 & \frac{5}{2} & -\frac{5}{2} \\ \frac{71}{2} & -161 & \lambda - \frac{69}{2} & \frac{59}{2} \\ -5 & 25 & 5 & \lambda - \frac{11}{2} \end{bmatrix}
\end{align*}\]
Die Determinante der Matrix wird mithilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes durch Entwicklung nach der ersten Zeile bestimmt.
&= \left(\lambda + 25\right) \cdot \det(A_{11}) + 111 \cdot \det(A_{12})-24 \cdot \det(A_{13})-\frac{39}{2} \cdot \det(A_{14}) \\[0.75em]
&= \left(\lambda + 25\right) \cdot \det\left(\begin{bmatrix} \lambda + 12 & \frac{5}{2} & -\frac{5}{2} \\ -161 & \lambda - \frac{69}{2} & \frac{59}{2} \\ 25 & 5 & \lambda - \frac{11}{2} \end{bmatrix}\right) + 111 \cdot \det\left(\begin{bmatrix} -\frac{5}{2} & \frac{5}{2} & -\frac{5}{2} \\ \frac{71}{2} & \lambda - \frac{69}{2} & \frac{59}{2} \\ -5 & 5 & \lambda - \frac{11}{2} \end{bmatrix}\right)-24 \cdot \det\left(\begin{bmatrix} -\frac{5}{2} & \lambda + 12 & -\frac{5}{2} \\ \frac{71}{2} & -161 & \frac{59}{2} \\ -5 & 25 & \lambda - \frac{11}{2} \end{bmatrix}\right)-\frac{39}{2} \cdot \det\left(\begin{bmatrix} -\frac{5}{2} & \lambda + 12 & \frac{5}{2} \\ \frac{71}{2} & -161 & \lambda - \frac{69}{2} \\ -5 & 25 & 5 \end{bmatrix}\right) \\[0.75em]
&= \left(\lambda + 25\right) \cdot \left(\lambda^3 - 28\lambda^2 + \frac{109}{4}\lambda - \frac{27}{4}\right) + 111 \cdot \left(-\frac{5}{2}\lambda^2 - \frac{5}{4}\lambda + \frac{5}{4}\right)-24 \cdot \left(-\frac{71}{2}\lambda^2 + \frac{97}{4}\lambda - \frac{13}{4}\right)-\frac{39}{2} \cdot \left(-5\lambda^2 - \frac{5}{2}\lambda + \frac{5}{2}\right) \\[0.75em]
&= \lambda^4 - 3\lambda^3 - \frac{3}{4}\lambda^2 + \frac{5}{2}\lambda - \frac{3}{4}
\end{align*}\]
Die Determinante der $3 \times 3$ Matrix kann mithilfe der Regel von Sarrus direkt berechnet werden:
Die Determinante der $3 \times 3$ Matrix kann mithilfe der Regel von Sarrus direkt berechnet werden:
Die Determinante der $3 \times 3$ Matrix kann mithilfe der Regel von Sarrus direkt berechnet werden:
Die Determinante der $3 \times 3$ Matrix kann mithilfe der Regel von Sarrus direkt berechnet werden:
Insgesamt ergibt sich somit das folgende charakteristische Polynom:
Bei den Eigenwerten der Matrix handelt es sich um die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.
Zunächst werden die bereits bekannten Nullstellen des Polynoms überprüft und die zugehörigen Linearfaktoren vom Polynom abgespalten:
Einsetzen des Werts $\xi = \frac{1}{2}$ in das Polynom $p(\lambda) = \lambda^4 - 3\lambda^3 - \frac{3}{4}\lambda^2 + \frac{5}{2}\lambda - \frac{3}{4}$ ergibt $p\left(\frac{1}{2}\right) = 0$. Es handelt sich bei $\xi = \frac{1}{2}$ somit um eine Nullstelle des Polynoms. Der zugehörige Linearfaktor $ \lambda - \frac{1}{2}$ kann vom Polynom abgespalten werden.
Die Berechnung der Zerlegung mit Rest kann schrittweise mittels Polynomdivision durchgeführt werden.
\begin{alignedat}{7}
& & \llap{\biggl(} \lambda^4 & \,-\, & 3\lambda^3 & \,-\, & \frac{3}{4}\lambda^2 & \,+\, & \frac{5}{2}\lambda & \,-\, & \frac{3}{4}\rlap{\biggr)} & &\ \, : & \, \biggl(\lambda - \frac{1}{2}\biggr) = \lambda^3 - \frac{5}{2}\lambda^2 - 2\lambda + \frac{3}{2}\\[0.5em]
& \phantom{-\biggl(}& \llap{-\biggl(} \lambda^4 & \,-\, & \frac{1}{2}\lambda^3\rlap{\biggr)} & & & & & & & & & \\[0.5em]\hline
& & & \,-\, & \frac{5}{2}\lambda^3 & \,-\, & \frac{3}{4}\lambda^2 & \,+\, & \frac{5}{2}\lambda & \,-\, & \frac{3}{4} & & & \\[0.5em]
& & & \llap{-\biggl(}\,-\, & \frac{5}{2}\lambda^3 & \,+\, & \frac{5}{4}\lambda^2\rlap{\biggr)} & & & & & & & \\[0.5em]\hline
& & & & & \,-\, & 2\lambda^2 & \,+\, & \frac{5}{2}\lambda & \,-\, & \frac{3}{4} & & & \\[0.5em]
& & & & & \llap{-\bigl(}\,-\, & 2\lambda^2 & \,+\, & \lambda\rlap{\bigr)} & & & & & \\[0.5em]\hline
& & & & & & & & \frac{3}{2}\lambda & \,-\, & \frac{3}{4} & & & \\[0.5em]
& & & & & & & & \llap{-\biggl(} \frac{3}{2}\lambda & \,-\, & \frac{3}{4}\rlap{\biggr)} & & & \\[0.5em]\hline
& & & & & & & & & & 0 & & & \\[0.5em]
\end{alignedat}Die Division der beiden Polynome liefert die folgende Zerlegung mit Rest:
\[\underbrace{\lambda^4 - 3\lambda^3 - \frac{3}{4}\lambda^2 + \frac{5}{2}\lambda - \frac{3}{4}}_{=\ a(\lambda)} = \left(\underbrace{\lambda^3 - \frac{5}{2}\lambda^2 - 2\lambda + \frac{3}{2}}_{=\ q(\lambda)}\right) \cdot \left(\underbrace{\lambda - \frac{1}{2}}_{=\ b(\lambda)}\right)\]Da es sich bei $\xi = \frac{1}{2}$ um eine Nullstelle des Polynoms handelt, ist die Division ohne Rest möglich. Weitere Nullstellen, sofern vorhanden, sind im Quotienten $q(\lambda) = \lambda^3 - \frac{5}{2}\lambda^2 - 2\lambda + \frac{3}{2}$ enthalten.
Zum Bestimmen der verbleibenden Nullstellen des Polynoms muss die folgende Gleichung gelöst werden.
Die folgenden rationalen Nullstellen des Polynoms von Grad 3 wurden näherungsweise berechnet:
\lambda_1 &= -1 \\[0.5em]
\lambda_2 &= \frac{1}{2} \\[0.5em]
\lambda_3 &= 3\end{align*}\]
Zusammengefasst besitzt das Polynom somit die folgenden rationalen Nullstellen:
\lambda_1 &= -1 \\[0.5em]
\lambda_2 &= \frac{1}{2} \\[0.5em]
\lambda_3 &= \frac{1}{2} \\[0.5em]
\lambda_4 &= 3\end{align*}\]
Die Matrix besitzt somit die folgenden rationalen Eigenwerte:
\lambda_{1} &= -1 \\[0.5em]
\lambda_{2} &= \frac{1}{2} \\[0.5em]
\lambda_{3} &= 3
\end{align*}\]
Mithilfe der Eigenwerte der Matrix können die zugehörigen Eigenvektoren berechnet werden.
Bei den Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda_{1} = -1$ handelt es sich um die Lösungen des folgenden homogenen linearen Gleichungssystems, die wie üblich mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens berechnet werden können:
\bigl(A - \lambda_{1} \cdot E\bigr) \cdot v
&= \left(\begin{bmatrix} -25 & 111 & 24 & -\frac{39}{2} \\ \frac{5}{2} & -12 & -\frac{5}{2} & \frac{5}{2} \\ -\frac{71}{2} & 161 & \frac{69}{2} & -\frac{59}{2} \\ 5 & -25 & -5 & \frac{11}{2} \end{bmatrix} - \left(-1\right) \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\right) \cdot v \\[0.75em]
&=\begin{bmatrix} -24 & 111 & 24 & -\frac{39}{2} \\ \frac{5}{2} & -11 & -\frac{5}{2} & \frac{5}{2} \\ -\frac{71}{2} & 161 & \frac{71}{2} & -\frac{59}{2} \\ 5 & -25 & -5 & \frac{13}{2} \end{bmatrix} \cdot v \\[0.75em]
&= 0.
\end{align*}\]
Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.
Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.
-24 & 111 & 24 & -\frac{39}{2} & 0 & \text{I} \cdot \left(-\frac{1}{24}\right) \\[0.25em]
\frac{5}{2} & -11 & -\frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 & \\[0.25em]
-\frac{71}{2} & 161 & \frac{71}{2} & -\frac{59}{2} & 0 & \\[0.25em]
5 & -25 & -5 & \frac{13}{2} & 0 & \\[0.25em]
\hline
1 & -\frac{37}{8} & -1 & \frac{13}{16} & 0 & \\[0.25em]
\frac{5}{2} & -11 & -\frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 & \text{II} - \frac{5}{2} \cdot \text{I} \\[0.25em]
-\frac{71}{2} & 161 & \frac{71}{2} & -\frac{59}{2} & 0 & \text{III} + \frac{71}{2} \cdot \text{I} \\[0.25em]
5 & -25 & -5 & \frac{13}{2} & 0 & \text{IV} - 5 \cdot \text{I} \\[0.25em]
\hline
1 & -\frac{37}{8} & -1 & \frac{13}{16} & 0 & \\[0.25em]
0 & \frac{9}{16} & 0 & \frac{15}{32} & 0 & \text{II} \cdot \frac{16}{9} \\[0.25em]
0 & -\frac{51}{16} & 0 & -\frac{21}{32} & 0 & \\[0.25em]
0 & -\frac{15}{8} & 0 & \frac{39}{16} & 0 & \\[0.25em]
\hline
1 & -\frac{37}{8} & -1 & \frac{13}{16} & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & 0 & \frac{5}{6} & 0 & \\[0.25em]
0 & -\frac{51}{16} & 0 & -\frac{21}{32} & 0 & \text{III} + \frac{51}{16} \cdot \text{II} \\[0.25em]
0 & -\frac{15}{8} & 0 & \frac{39}{16} & 0 & \text{IV} + \frac{15}{8} \cdot \text{II} \\[0.25em]
\hline
1 & -\frac{37}{8} & -1 & \frac{13}{16} & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & 0 & \frac{5}{6} & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 2 & 0 & \text{III} \cdot \frac{1}{2} \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 4 & 0 & \\[0.25em]
\hline
1 & -\frac{37}{8} & -1 & \frac{13}{16} & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & 0 & \frac{5}{6} & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 4 & 0 & \text{IV} - 4 \cdot \text{III} \\[0.25em]
\hline
1 & -\frac{37}{8} & -1 & \frac{13}{16} & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & 0 & \frac{5}{6} & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 0 & 0 &
\end{array}\]
Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden. Für die freie Variable wird der Parameter $ \mu_3 \in \Q$ verwendet.
v_4 &= 0 \\[1em]
v_3 &= \mu_3 \\[1em]
v_2 &= 0-\frac{5}{6}v_4 \\[0.5em]
&= 0-\frac{5}{6} \cdot 0 \\[0.5em]
&= 0 \\[1em]
v_1 &= 0+\frac{37}{8}v_2+v_3-\frac{13}{16}v_4 \\[0.5em]
&= 0+\frac{37}{8} \cdot 0+\mu_3-\frac{13}{16} \cdot 0 \\[0.5em]
&= \mu_3
\end{align*}\]
Die gefundene Lösung kann alternativ auch in Parameterform dargestellt werden.
Bei dem folgenden Vektor handelt es sich folglich um einen Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_{1} = -1$:
Der zugehörige Eigenraum $\operatorname{Eig}(A,-1)$ besteht aus allen skalaren Vielfachen des Vektors $b$. Der Eigenwert besitzt somit die geometrische Vielfachheit $1$.
Bei den Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda_{2} = \frac{1}{2}$ handelt es sich um die Lösungen des folgenden homogenen linearen Gleichungssystems, die wie üblich mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens berechnet werden können:
\bigl(A - \lambda_{2} \cdot E\bigr) \cdot v
&= \left(\begin{bmatrix} -25 & 111 & 24 & -\frac{39}{2} \\ \frac{5}{2} & -12 & -\frac{5}{2} & \frac{5}{2} \\ -\frac{71}{2} & 161 & \frac{69}{2} & -\frac{59}{2} \\ 5 & -25 & -5 & \frac{11}{2} \end{bmatrix} - \frac{1}{2} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\right) \cdot v \\[0.75em]
&=\begin{bmatrix} -\frac{51}{2} & 111 & 24 & -\frac{39}{2} \\ \frac{5}{2} & -\frac{25}{2} & -\frac{5}{2} & \frac{5}{2} \\ -\frac{71}{2} & 161 & 34 & -\frac{59}{2} \\ 5 & -25 & -5 & 5 \end{bmatrix} \cdot v \\[0.75em]
&= 0.
\end{align*}\]
Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.
Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.
-\frac{51}{2} & 111 & 24 & -\frac{39}{2} & 0 & \text{I} \cdot \left(-\frac{2}{51}\right) \\[0.25em]
\frac{5}{2} & -\frac{25}{2} & -\frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 & \\[0.25em]
-\frac{71}{2} & 161 & 34 & -\frac{59}{2} & 0 & \\[0.25em]
5 & -25 & -5 & 5 & 0 & \\[0.25em]
\hline
1 & -\frac{74}{17} & -\frac{16}{17} & \frac{13}{17} & 0 & \\[0.25em]
\frac{5}{2} & -\frac{25}{2} & -\frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 & \text{II} - \frac{5}{2} \cdot \text{I} \\[0.25em]
-\frac{71}{2} & 161 & 34 & -\frac{59}{2} & 0 & \text{III} + \frac{71}{2} \cdot \text{I} \\[0.25em]
5 & -25 & -5 & 5 & 0 & \text{IV} - 5 \cdot \text{I} \\[0.25em]
\hline
1 & -\frac{74}{17} & -\frac{16}{17} & \frac{13}{17} & 0 & \\[0.25em]
0 & -\frac{55}{34} & -\frac{5}{34} & \frac{10}{17} & 0 & \text{II} \cdot \left(-\frac{34}{55}\right) \\[0.25em]
0 & \frac{110}{17} & \frac{10}{17} & -\frac{40}{17} & 0 & \\[0.25em]
0 & -\frac{55}{17} & -\frac{5}{17} & \frac{20}{17} & 0 & \\[0.25em]
\hline
1 & -\frac{74}{17} & -\frac{16}{17} & \frac{13}{17} & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & \frac{1}{11} & -\frac{4}{11} & 0 & \\[0.25em]
0 & \frac{110}{17} & \frac{10}{17} & -\frac{40}{17} & 0 & \text{III} - \frac{110}{17} \cdot \text{II} \\[0.25em]
0 & -\frac{55}{17} & -\frac{5}{17} & \frac{20}{17} & 0 & \text{IV} + \frac{55}{17} \cdot \text{II} \\[0.25em]
\hline
1 & -\frac{74}{17} & -\frac{16}{17} & \frac{13}{17} & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & \frac{1}{11} & -\frac{4}{11} & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 0 & 0 &
\end{array}\]
Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden. Für die freien Variablen werden die Parameter $ \mu_3, \mu_4 \in \Q$ verwendet.
v_4 &= \mu_4 \\[1em]
v_3 &= \mu_3 \\[1em]
v_2 &= 0-\frac{1}{11}v_3+\frac{4}{11}v_4 \\[0.5em]
&= 0-\frac{1}{11}\mu_3+\frac{4}{11}\mu_4 \\[0.5em]
&= -\frac{1}{11}\mu_3+\frac{4}{11}\mu_4 \\[1em]
v_1 &= 0+\frac{74}{17}v_2+\frac{16}{17}v_3-\frac{13}{17}v_4 \\[0.5em]
&= 0+\frac{74}{17} \cdot \left(-\frac{1}{11}\mu_3+\frac{4}{11}\mu_4\right)+\frac{16}{17}\mu_3-\frac{13}{17}\mu_4 \\[0.5em]
&= \frac{6}{11}\mu_3+\frac{9}{11}\mu_4
\end{align*}\]
Die gefundene Lösung kann alternativ auch in Parameterform dargestellt werden.
Bei den folgenden Vektoren handelt es sich folglich um linear unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda_{2} = \frac{1}{2}$:
Beim Eigenraum $\operatorname{Eig}(A,\frac{1}{2})$ handelt es sich um die lineare Hülle der Eigenvektoren $ b_1,b_2$. Der Eigenwert besitzt somit die geometrische Vielfachheit $ 2$.
Bei den Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda_{3} = 3$ handelt es sich um die Lösungen des folgenden homogenen linearen Gleichungssystems, die wie üblich mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens berechnet werden können:
\bigl(A - \lambda_{3} \cdot E\bigr) \cdot v
&= \left(\begin{bmatrix} -25 & 111 & 24 & -\frac{39}{2} \\ \frac{5}{2} & -12 & -\frac{5}{2} & \frac{5}{2} \\ -\frac{71}{2} & 161 & \frac{69}{2} & -\frac{59}{2} \\ 5 & -25 & -5 & \frac{11}{2} \end{bmatrix} - 3 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\right) \cdot v \\[0.75em]
&=\begin{bmatrix} -28 & 111 & 24 & -\frac{39}{2} \\ \frac{5}{2} & -15 & -\frac{5}{2} & \frac{5}{2} \\ -\frac{71}{2} & 161 & \frac{63}{2} & -\frac{59}{2} \\ 5 & -25 & -5 & \frac{5}{2} \end{bmatrix} \cdot v \\[0.75em]
&= 0.
\end{align*}\]
Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.
Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.
-28 & 111 & 24 & -\frac{39}{2} & 0 & \text{I} \cdot \left(-\frac{1}{28}\right) \\[0.25em]
\frac{5}{2} & -15 & -\frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 & \\[0.25em]
-\frac{71}{2} & 161 & \frac{63}{2} & -\frac{59}{2} & 0 & \\[0.25em]
5 & -25 & -5 & \frac{5}{2} & 0 & \\[0.25em]
\hline
1 & -\frac{111}{28} & -\frac{6}{7} & \frac{39}{56} & 0 & \\[0.25em]
\frac{5}{2} & -15 & -\frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 & \text{II} - \frac{5}{2} \cdot \text{I} \\[0.25em]
-\frac{71}{2} & 161 & \frac{63}{2} & -\frac{59}{2} & 0 & \text{III} + \frac{71}{2} \cdot \text{I} \\[0.25em]
5 & -25 & -5 & \frac{5}{2} & 0 & \text{IV} - 5 \cdot \text{I} \\[0.25em]
\hline
1 & -\frac{111}{28} & -\frac{6}{7} & \frac{39}{56} & 0 & \\[0.25em]
0 & -\frac{285}{56} & -\frac{5}{14} & \frac{85}{112} & 0 & \text{II} \cdot \left(-\frac{56}{285}\right) \\[0.25em]
0 & \frac{1135}{56} & \frac{15}{14} & -\frac{535}{112} & 0 & \\[0.25em]
0 & -\frac{145}{28} & -\frac{5}{7} & -\frac{55}{56} & 0 & \\[0.25em]
\hline
1 & -\frac{111}{28} & -\frac{6}{7} & \frac{39}{56} & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & \frac{4}{57} & -\frac{17}{114} & 0 & \\[0.25em]
0 & \frac{1135}{56} & \frac{15}{14} & -\frac{535}{112} & 0 & \text{III} - \frac{1135}{56} \cdot \text{II} \\[0.25em]
0 & -\frac{145}{28} & -\frac{5}{7} & -\frac{55}{56} & 0 & \text{IV} + \frac{145}{28} \cdot \text{II} \\[0.25em]
\hline
1 & -\frac{111}{28} & -\frac{6}{7} & \frac{39}{56} & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & \frac{4}{57} & -\frac{17}{114} & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & -\frac{20}{57} & -\frac{100}{57} & 0 & \text{III} \cdot \left(-\frac{57}{20}\right) \\[0.25em]
0 & 0 & -\frac{20}{57} & -\frac{100}{57} & 0 & \\[0.25em]
\hline
1 & -\frac{111}{28} & -\frac{6}{7} & \frac{39}{56} & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & \frac{4}{57} & -\frac{17}{114} & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & 5 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & -\frac{20}{57} & -\frac{100}{57} & 0 & \text{IV} + \frac{20}{57} \cdot \text{III} \\[0.25em]
\hline
1 & -\frac{111}{28} & -\frac{6}{7} & \frac{39}{56} & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & \frac{4}{57} & -\frac{17}{114} & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & 5 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 0 & 0 &
\end{array}\]
Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden. Für die freie Variable wird der Parameter $ \mu_4 \in \Q$ verwendet.
v_4 &= \mu_4 \\[1em]
v_3 &= 0-5v_4 \\[0.5em]
&= 0-5\mu_4 \\[0.5em]
&= -5\mu_4 \\[1em]
v_2 &= 0-\frac{4}{57}v_3+\frac{17}{114}v_4 \\[0.5em]
&= 0-\frac{4}{57} \cdot \left(-5\mu_4\right)+\frac{17}{114}\mu_4 \\[0.5em]
&= \frac{1}{2}\mu_4 \\[1em]
v_1 &= 0+\frac{111}{28}v_2+\frac{6}{7}v_3-\frac{39}{56}v_4 \\[0.5em]
&= 0+\frac{111}{28} \cdot \frac{1}{2}\mu_4+\frac{6}{7} \cdot \left(-5\mu_4\right)-\frac{39}{56}\mu_4 \\[0.5em]
&= -3\mu_4
\end{align*}\]
Die gefundene Lösung kann alternativ auch in Parameterform dargestellt werden.
Bei dem folgenden Vektor handelt es sich folglich um einen Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_{3} = 3$:
Der zugehörige Eigenraum $\operatorname{Eig}(A,3)$ besteht aus allen skalaren Vielfachen des Vektors $b$. Der Eigenwert besitzt somit die geometrische Vielfachheit $1$.
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