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Lineare Unabhängigkeit von Vektoren – Interaktiver Aufgabengenerator

Artikel zum Nachlesen: Lineare Unabhängigkeit

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Lineare Unabhängigkeit von Vektoren erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren, prozedural generierten Übungsaufgaben. Er unterstützt dich dabei, die Aufgaben zu lösen, das Thema ausgiebig zu üben und zu verstehen. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Schritt-für-Schritt Musterlösung. Alle Lösungen und Lösungswege werden deterministisch mithilfe der zugrundeliegenden mathematischen Verfahren berechnet. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte und eigene Aufgaben im vollen Umfang zur Verfügung.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Die ausgewählten Beispiele ermöglichen es dir, einige Generator-Konfigurationen und die verfügbare Unterstützung beim Lösen der Aufgaben unverbindlich und in aller Ruhe kennenzulernen.

Aufgabe 1 von 3

Gegeben seien die folgenden Vektoren mit Einträgen aus $ \Q$:

\[v_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\quad v_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}\quad v_{3} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}\]

Entscheide, ob die Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind.

Aufgabe 2 von 3

Gegeben seien die folgenden Vektoren mit Einträgen aus $ \Q$:

\[v_{1} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \\ 2 \end{bmatrix}\quad v_{2} = \begin{bmatrix} -2 \\ -1 \\ 8 \\ 1 \end{bmatrix}\quad v_{3} = \begin{bmatrix} -4 \\ -5 \\ 12 \\ 3 \end{bmatrix}\quad v_{4} = \begin{bmatrix} 8 \\ 13 \\ -18 \\ 0 \end{bmatrix}\quad v_{5} = \begin{bmatrix} -2 \\ -7 \\ -2 \\ -7 \end{bmatrix}\]

Entscheide, ob die Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind.

Aufgabe 3 von 3

Gegeben seien die folgenden Vektoren mit Einträgen aus $ \Z_{7}$:

\[v_{1} = \begin{bmatrix} [3]_7 \\ [6]_7 \\ [6]_7 \end{bmatrix}\quad v_{2} = \begin{bmatrix} [0]_7 \\ [1]_7 \\ [2]_7 \end{bmatrix}\quad v_{3} = \begin{bmatrix} [1]_7 \\ [6]_7 \\ [3]_7 \end{bmatrix}\]

Entscheide, ob die Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind.

Aufgabengenerator

Aufgabengenerator

Der Aufgabengenerator ermöglicht es dir, beliebig viele, an deine individuellen Bedürfnisse angepasste Aufgaben zu generieren, um dich perfekt mit dem Thema vertraut zu machen. Auf Wunsch haben erzeugte Aufgaben garantiert ganzzahlige Lösungen und Rechenwege – für maximalen Fokus auf das zugrundeliegende Verfahren.

Melde dich an, um unbegrenzt Übungsaufgaben zu erzeugen. Jetzt anmelden!
Konfiguration anpassen

Konfiguriere den Aufgabengenerator nach deinen Wünschen – von einfachen Beispielen bis zu anspruchsvollen Herausforderungen.

Lege die minimale und die maximale Anzahl der Vektoren (jeweils von 2 bis 10), die minimale und die maximale Dimension der Vektoren (jeweils von 2 bis 10), die minimale und die maximale Anzahl der gewünschten linear unabhängigen Vektoren (jeweils von 1 bis 10) fest und entscheide, welchen Typ die Elemente der Vektoren haben sollen: Zur Auswahl stehen ganze Zahlen $\Z$, rationale Zahlen $\Q$ und Restklassenkörper $\Z_p$ mit einstellbarem $p$. Die Auswahl ganzzahliger Elemente garantiert, dass sowohl die Lösung als auch der gesamte Rechenweg ganzzahlig bleiben.

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Hier könnte deine generierte Aufgabe stehen!
Eigene Aufgabe

Eigene Aufgabe verwenden

Löse deine eigenen Aufgaben oder lasse deiner Neugier freien Lauf – mit voller Unterstützung des Generators.

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Gib zunächst die Anzahl der zu überprüfenden Vektoren, deren Dimension sowie den Zahlenbereich an, aus dem die Einträge der Vektoren stammen sollen.

Gib die Vektoren ein, die auf lineare Unabhängigkeit überprüft werden sollen.

\[v_1=\]
$ 0$
$ 0$
$ 0$
\[v_2=\]
$ 0$
$ 0$
$ 0$
\[v_3=\]
$ 0$
$ 0$
$ 0$

Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung: Beispielaufgabe 1 von 3

Um zu entscheiden, ob die Vektoren $v_1,v_2,v_3$ linear abhängig oder linear unabhängig sind, muss das folgende lineare Gleichungssystem gelöst werden.

\[\lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 + \lambda_3v_3 = 0\]

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\[\left[\begin{array}{rrr|r}1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 3 & 0 \end{array}\right]\]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.

\[\begin{array}{rrr|r|l}
1 & 0 & 2 & 0 & \\[0.25em]
1 & 1 & 1 & 0 & \text{II} - \text{I} \\[0.25em]
0 & -2 & 3 & 0 & \\[0.25em]
\hline
1 & 0 & 2 & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & -1 & 0 & \\[0.25em]
0 & -2 & 3 & 0 & \text{III} + 2 \cdot \text{II} \\[0.25em]
\hline
1 & 0 & 2 & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & -1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & 0 &
\end{array}\]

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden.

\[\begin{align*}
\lambda_3 &= 0 \\[1em]
\lambda_2 &= 0+\lambda_3 \\[0.5em]
&= 0+0 \\[0.5em]
&= 0 \\[1em]
\lambda_1 &= 0-2\lambda_3 \\[0.5em]
&= 0-2 \cdot 0 \\[0.5em]
&= 0
\end{align*}\]

Da nur die triviale Lösung $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0$ für das Gleichungssystem existiert, sind die Vektoren $v_1,v_2,v_3$ linear unabhängig.

Musterlösung: Beispielaufgabe 2 von 3

Um zu entscheiden, ob die Vektoren $v_1, \ldots, v_{5}$ linear abhängig oder linear unabhängig sind, muss das folgende lineare Gleichungssystem gelöst werden.

\[\lambda_1v_1 + \ldots + \lambda_{5}v_{5} = 0\]

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\[\left[\begin{array}{rrrrr|r}2 & -2 & -4 & 8 & -2 & 0 \\ 4 & -1 & -5 & 13 & -7 & 0 \\ -2 & 8 & 12 & -18 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 0 & -7 & 0 \end{array}\right]\]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.

\[\begin{array}{rrrrr|r|l}
2 & -2 & -4 & 8 & -2 & 0 & \text{I} \cdot \frac{1}{2} \\[0.25em]
4 & -1 & -5 & 13 & -7 & 0 & \\[0.25em]
-2 & 8 & 12 & -18 & -2 & 0 & \\[0.25em]
2 & 1 & 3 & 0 & -7 & 0 & \\[0.25em]
\hline
1 & -1 & -2 & 4 & -1 & 0 & \\[0.25em]
4 & -1 & -5 & 13 & -7 & 0 & \text{II} - 4 \cdot \text{I} \\[0.25em]
-2 & 8 & 12 & -18 & -2 & 0 & \text{III} + 2 \cdot \text{I} \\[0.25em]
2 & 1 & 3 & 0 & -7 & 0 & \text{IV} - 2 \cdot \text{I} \\[0.25em]
\hline
1 & -1 & -2 & 4 & -1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 3 & 3 & -3 & -3 & 0 & \text{II} \cdot \frac{1}{3} \\[0.25em]
0 & 6 & 8 & -10 & -4 & 0 & \\[0.25em]
0 & 3 & 7 & -8 & -5 & 0 & \\[0.25em]
\hline
1 & -1 & -2 & 4 & -1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & 1 & -1 & -1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 6 & 8 & -10 & -4 & 0 & \text{III} - 6 \cdot \text{II} \\[0.25em]
0 & 3 & 7 & -8 & -5 & 0 & \text{IV} - 3 \cdot \text{II} \\[0.25em]
\hline
1 & -1 & -2 & 4 & -1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & 1 & -1 & -1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 2 & -4 & 2 & 0 & \text{III} \cdot \frac{1}{2} \\[0.25em]
0 & 0 & 4 & -5 & -2 & 0 & \\[0.25em]
\hline
1 & -1 & -2 & 4 & -1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & 1 & -1 & -1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 4 & -5 & -2 & 0 & \text{IV} - 4 \cdot \text{III} \\[0.25em]
\hline
1 & -1 & -2 & 4 & -1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & 1 & -1 & -1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 3 & -6 & 0 & \text{IV} \cdot \frac{1}{3} \\[0.25em]
\hline
1 & -1 & -2 & 4 & -1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & 1 & -1 & -1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 &
\end{array}\]

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden. Für die freie Variable wird der Parameter $ \mu_5 \in \Q$ verwendet.

\[\begin{align*}
\lambda_5 &= \mu_5 \\[1em]
\lambda_4 &= 0+2\lambda_5 \\[0.5em]
&= 0+2\mu_5 \\[0.5em]
&= 2\mu_5 \\[1em]
\lambda_3 &= 0+2\lambda_4-\lambda_5 \\[0.5em]
&= 0+2 \cdot 2\mu_5-\mu_5 \\[0.5em]
&= 3\mu_5 \\[1em]
\lambda_2 &= 0-\lambda_3+\lambda_4+\lambda_5 \\[0.5em]
&= 0-3\mu_5+2\mu_5+\mu_5 \\[0.5em]
&= 0 \\[1em]
\lambda_1 &= 0+\lambda_2+2\lambda_3-4\lambda_4+\lambda_5 \\[0.5em]
&= 0+0+2 \cdot 3\mu_5-4 \cdot 2\mu_5+\mu_5 \\[0.5em]
&= -\mu_5
\end{align*}\]

Die gefundene Lösung kann alternativ auch in Parameterform dargestellt werden.

\[\lambda = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \\ \lambda_4 \\ \lambda_5 \end{bmatrix} = \mu_5 \cdot \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}\]

Da neben der trivialen Lösung $\lambda_1 = \ldots = \lambda_{5} = 0$ noch weitere Lösungen für das Gleichungssystem existieren, sind die Vektoren $v_1, \ldots, v_{5}$ linear abhängig.

Musterlösung: Beispielaufgabe 3 von 3

Um zu entscheiden, ob die Vektoren $v_1,v_2,v_3$ linear abhängig oder linear unabhängig sind, muss das folgende lineare Gleichungssystem gelöst werden.

\[\lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 + \lambda_3v_3 = [0]_7\]

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\[\left[\begin{array}{rrr|r}[3]_7 & [0]_7 & [1]_7 & [0]_7 \\ [6]_7 & [1]_7 & [6]_7 & [0]_7 \\ [6]_7 & [2]_7 & [3]_7 & [0]_7 \end{array}\right]\]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.

\[\begin{array}{rrr|r|l}
[3]_7 & [0]_7 & [1]_7 & [0]_7 & \text{I} \cdot [5]_7 \\[0.25em]
[6]_7 & [1]_7 & [6]_7 & [0]_7 & \\[0.25em]
[6]_7 & [2]_7 & [3]_7 & [0]_7 & \\[0.25em]
\hline
[1]_7 & [0]_7 & [5]_7 & [0]_7 & \\[0.25em]
[6]_7 & [1]_7 & [6]_7 & [0]_7 & \text{II} + \text{I} \\[0.25em]
[6]_7 & [2]_7 & [3]_7 & [0]_7 & \text{III} + \text{I} \\[0.25em]
\hline
[1]_7 & [0]_7 & [5]_7 & [0]_7 & \\[0.25em]
[0]_7 & [1]_7 & [4]_7 & [0]_7 & \\[0.25em]
[0]_7 & [2]_7 & [1]_7 & [0]_7 & \text{III} + [5]_7 \cdot \text{II} \\[0.25em]
\hline
[1]_7 & [0]_7 & [5]_7 & [0]_7 & \\[0.25em]
[0]_7 & [1]_7 & [4]_7 & [0]_7 & \\[0.25em]
[0]_7 & [0]_7 & [0]_7 & [0]_7 &
\end{array}\]

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden. Für die freie Variable wird der Parameter $ \mu_3 \in \Z_{7}$ verwendet.

\[\begin{align*}
\lambda_3 &= \mu_3 \\[1em]
\lambda_2 &= [0]_7-[4]_7 \cdot \lambda_3 \\[0.5em]
&= [0]_7-[4]_7 \cdot \mu_3 \\[0.5em]
&= [3]_7 \cdot \mu_3 \\[1em]
\lambda_1 &= [0]_7-[5]_7 \cdot \lambda_3 \\[0.5em]
&= [0]_7-[5]_7 \cdot \mu_3 \\[0.5em]
&= [2]_7 \cdot \mu_3
\end{align*}\]

Die gefundene Lösung kann alternativ auch in Parameterform dargestellt werden.

\[\lambda = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \end{bmatrix} = \mu_3 \cdot \begin{bmatrix} [2]_7 \\ [3]_7 \\ [1]_7 \end{bmatrix}\]

Da neben der trivialen Lösung $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = [0]_7$ noch weitere Lösungen für das Gleichungssystem existieren, sind die Vektoren $v_1,v_2,v_3$ linear abhängig.