de
Seitenbanner
Menu
A-Z
Aufgaben

Lineare Abbildung – Interaktiver Aufgabengenerator

Artikel zum Nachlesen: Lineare Abbildung

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Lineare Abbildung erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren, prozedural generierten Übungsaufgaben. Er unterstützt dich dabei, die Aufgaben zu lösen, das Thema ausgiebig zu üben und zu verstehen. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Schritt-für-Schritt Musterlösung und bietet dir zudem die Möglichkeit, deine eigenen Lösungen direkt zu überprüfen. Alle Lösungen und Lösungswege werden deterministisch mithilfe der zugrundeliegenden mathematischen Verfahren berechnet. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte und eigene Aufgaben im vollen Umfang zur Verfügung.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Die ausgewählten Beispiele ermöglichen es dir, einige Generator-Konfigurationen und die verfügbare Unterstützung beim Lösen der Aufgaben unverbindlich und in aller Ruhe kennenzulernen.

Aufgabe 1 von 3

Gegeben seien eine lineare Abbildung $f: \Q^{2} \rightarrow\Q^{3}$, die Vektoren $ v_{1}, v_{2}$ sowie deren Bilder $ f(v_{1}), f(v_{2})$.

\[v_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix} \quad v_{2} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}\]
\[f(v_{1}) = \begin{bmatrix} 9 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix} \quad f(v_{2}) = \begin{bmatrix} 8 \\ -9 \\ 5 \end{bmatrix}\]

Bestimme das Bild $f(v)$ des folgenden Vektors $v$.

\[v=\begin{bmatrix} 1 \\ -5 \end{bmatrix}\]

Aufgabe 2 von 3

Gegeben seien eine lineare Abbildung $f: \Q^{4} \rightarrow\Q^{2}$, die Vektoren $ v_1,\ldots,v_{4}$ sowie deren Bilder $ f(v_1),\ldots,f(v_{4})$.

\[v_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} \quad v_{2} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ -4 \end{bmatrix} \quad v_{3} = \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} \quad v_{4} = \begin{bmatrix} -6 \\ 3 \\ 6 \\ -11 \end{bmatrix}\]
\[f(v_{1}) = \begin{bmatrix} 7 \\ 1 \end{bmatrix} \quad f(v_{2}) = \begin{bmatrix} -8 \\ 3 \end{bmatrix} \quad f(v_{3}) = \begin{bmatrix} 6 \\ 8 \end{bmatrix} \quad f(v_{4}) = \begin{bmatrix} -9 \\ -9 \end{bmatrix}\]

Bestimme das Bild $f(v)$ des folgenden Vektors $v$.

\[v=\begin{bmatrix} -12 \\ 10 \\ 10 \\ -44 \end{bmatrix}\]

Aufgabe 3 von 3

Gegeben seien eine lineare Abbildung $f: \Z_{5}^{2} \rightarrow\Z_{5}^{3}$, die Vektoren $ v_{1}, v_{2}$ sowie deren Bilder $ f(v_{1}), f(v_{2})$.

\[v_{1} = \begin{bmatrix} [1]_5 \\ [4]_5 \end{bmatrix} \quad v_{2} = \begin{bmatrix} [2]_5 \\ [4]_5 \end{bmatrix}\]
\[f(v_{1}) = \begin{bmatrix} [4]_5 \\ [0]_5 \\ [1]_5 \end{bmatrix} \quad f(v_{2}) = \begin{bmatrix} [1]_5 \\ [1]_5 \\ [4]_5 \end{bmatrix}\]

Bestimme das Bild $f(v)$ des folgenden Vektors $v$.

\[v=\begin{bmatrix} [0]_5 \\ [2]_5 \end{bmatrix}\]
Aufgabengenerator

Aufgabengenerator

Der Aufgabengenerator ermöglicht es dir, beliebig viele, an deine individuellen Bedürfnisse angepasste Aufgaben zu generieren, um dich perfekt mit dem Thema vertraut zu machen. Auf Wunsch haben erzeugte Aufgaben garantiert ganzzahlige Lösungen und Rechenwege – für maximalen Fokus auf das zugrundeliegende Verfahren.

Melde dich an, um unbegrenzt Übungsaufgaben zu erzeugen. Jetzt anmelden!
Konfiguration anpassen

Konfiguriere den Aufgabengenerator nach deinen Wünschen – von einfachen Beispielen bis zu anspruchsvollen Herausforderungen.

Lege die minimale und die maximale Anzahl an Vektoren (jeweils von 1 bis 10), die minimale und die maximale Dimension der Urbild-Vektoren (jeweils von 1 bis 10) sowie die minimale und die maximale Dimension der Bild-Vektoren (jeweils von 1 bis 10) fest und entscheide, welchen Typ die Elemente der Vektoren haben sollen: Zur Auswahl stehen ganze Zahlen $\Z$, rationale Zahlen $\Q$ und Restklassenkörper $\Z_p$ mit einstellbarem $p$. Die Auswahl ganzzahliger Elemente garantiert, dass sowohl die Lösung als auch der gesamte Rechenweg ganzzahlig bleiben.

 – 
 – 
 – 
Hier könnte deine generierte Aufgabe stehen!
Eigene Aufgabe

Eigene Aufgabe verwenden

Löse deine eigenen Aufgaben oder lasse deiner Neugier freien Lauf – mit voller Unterstützung des Generators.

Melde dich an, um deine eigenen Aufgaben zu verwenden und zu lösen. Jetzt anmelden!

Gib die Anzahl der Vektoren, die Dimensionen der Urbild- und Bild-Vektoren sowie den Zahlenbereich an, aus dem die Elemente der Vektoren stammen sollen.

Gib die Vektoren und ihre Bilder ein, die die lineare Abbildung beschreiben.

\[v_1=\]
$ 0$
$ 0$
$ 0$
\[v_2=\]
$ 0$
$ 0$
$ 0$
\[v_3=\]
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$f(v_{1})=$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$f(v_{2})=$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$f(v_{3})=$
$ 0$
$ 0$
$ 0$

Gib den Vektor ein, dessen Bild berechnet werden soll.

\[v=\]
$ 0$
$ 0$
$ 0$

Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung: Beispielaufgabe 1 von 3

Zum Bestimmen des Bildes $f(v)$ muss zunächst der Vektor $ v$ als Linearkombination der Vektoren $ v_1,v_2$ dargestellt werden. Hierzu wird das folgende lineare Gleichungssystem gelöst.

\[\lambda_1v_1 + \lambda_2v_2=v\]

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\[\left[\begin{array}{rr|r}1 & 1 & 1 \\ -3 & -2 & -5 \end{array}\right]\]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.

\[\begin{array}{rr|r|l}
1 & 1 & 1 & \\[0.25em]
-3 & -2 & -5 & \text{II} + 3 \cdot \text{I} \\[0.25em]
\hline
1 & 1 & 1 & \\[0.25em]
0 & 1 & -2 &
\end{array}\]

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden.

\[\begin{align*}
\lambda_2 &= -2 \\[1em]
\lambda_1 &= 1-\lambda_2 \\[0.5em]
&= 1-\left(-2\right) \\[0.5em]
&= 3
\end{align*}\]

Mithilfe der gefundenen Lösung kann nun der Vektor $ v$ als Linearkombination der Vektoren $ v_1,v_2$ dargestellt und das Bild $f(v)$ unter Zuhilfenahme der Homogenität und Additivität der linearen Abbildung $f$ direkt berechnet werden.

\begin{align*} f(v) &= f\left(3v_1 - 2v_2\right) \\[0.5em]
&= f\left(3v_1\right) + f\left(-2v_2\right) \\[0.5em]
&= 3f\left(v_1\right) - 2f\left(v_2\right) \\[0.5em]
&= 3 \cdot \begin{bmatrix} 9 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix} - 2 \cdot \begin{bmatrix} 8 \\ -9 \\ 5 \end{bmatrix} \\[0.5em]
&= \begin{bmatrix} 11 \\ 30 \\ -4 \end{bmatrix}\end{align*}

Musterlösung: Beispielaufgabe 2 von 3

Zum Bestimmen des Bildes $f(v)$ muss zunächst der Vektor $ v$ als Linearkombination der Vektoren $ v_1,\ldots,v_4$ dargestellt werden. Hierzu wird das folgende lineare Gleichungssystem gelöst.

\[\lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 + \lambda_3v_3 + \lambda_4v_4=v\]

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\[\left[\begin{array}{rrrr|r}1 & -1 & -3 & -6 & -12 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 10 \\ 0 & 1 & 3 & 6 & 10 \\ 3 & -4 & 0 & -11 & -44 \end{array}\right]\]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.

\[\begin{array}{rrrr|r|l}
1 & -1 & -3 & -6 & -12 & \\[0.25em]
0 & 1 & 0 & 3 & 10 & \\[0.25em]
0 & 1 & 3 & 6 & 10 & \\[0.25em]
3 & -4 & 0 & -11 & -44 & \text{IV} - 3 \cdot \text{I} \\[0.25em]
\hline
1 & -1 & -3 & -6 & -12 & \\[0.25em]
0 & 1 & 0 & 3 & 10 & \\[0.25em]
0 & 1 & 3 & 6 & 10 & \text{III} - \text{II} \\[0.25em]
0 & -1 & 9 & 7 & -8 & \text{IV} + \text{II} \\[0.25em]
\hline
1 & -1 & -3 & -6 & -12 & \\[0.25em]
0 & 1 & 0 & 3 & 10 & \\[0.25em]
0 & 0 & 3 & 3 & 0 & \text{III} \cdot \frac{1}{3} \\[0.25em]
0 & 0 & 9 & 10 & 2 & \\[0.25em]
\hline
1 & -1 & -3 & -6 & -12 & \\[0.25em]
0 & 1 & 0 & 3 & 10 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 9 & 10 & 2 & \text{IV} - 9 \cdot \text{III} \\[0.25em]
\hline
1 & -1 & -3 & -6 & -12 & \\[0.25em]
0 & 1 & 0 & 3 & 10 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 1 & 2 &
\end{array}\]

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden.

\[\begin{align*}
\lambda_4 &= 2 \\[1em]
\lambda_3 &= 0-\lambda_4 \\[0.5em]
&= 0-2 \\[0.5em]
&= -2 \\[1em]
\lambda_2 &= 10-3\lambda_4 \\[0.5em]
&= 10-3 \cdot 2 \\[0.5em]
&= 4 \\[1em]
\lambda_1 &= -12+\lambda_2+3\lambda_3+6\lambda_4 \\[0.5em]
&= -12+4+3 \cdot \left(-2\right)+6 \cdot 2 \\[0.5em]
&= -2
\end{align*}\]

Mithilfe der gefundenen Lösung kann nun der Vektor $ v$ als Linearkombination der Vektoren $ v_1,\ldots,v_4$ dargestellt und das Bild $f(v)$ unter Zuhilfenahme der Homogenität und Additivität der linearen Abbildung $f$ direkt berechnet werden.

\begin{align*} f(v) &= f\left( - 2v_1 + 4v_2 - 2v_3 + 2v_4\right) \\[0.5em]
&= f\left(-2v_1\right) + f\left(4v_2\right) + f\left(-2v_3\right) + f\left(2v_4\right) \\[0.5em]
&= - 2f\left(v_1\right) + 4f\left(v_2\right) - 2f\left(v_3\right) + 2f\left(v_4\right) \\[0.5em]
&= - 2 \cdot \begin{bmatrix} 7 \\ 1 \end{bmatrix} + 4 \cdot \begin{bmatrix} -8 \\ 3 \end{bmatrix} - 2 \cdot \begin{bmatrix} 6 \\ 8 \end{bmatrix} + 2 \cdot \begin{bmatrix} -9 \\ -9 \end{bmatrix} \\[0.5em]
&= \begin{bmatrix} -76 \\ -24 \end{bmatrix}\end{align*}

Musterlösung: Beispielaufgabe 3 von 3

Zum Bestimmen des Bildes $f(v)$ muss zunächst der Vektor $ v$ als Linearkombination der Vektoren $ v_1,v_2$ dargestellt werden. Hierzu wird das folgende lineare Gleichungssystem gelöst.

\[\lambda_1v_1 + \lambda_2v_2=v\]

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\[\left[\begin{array}{rr|r}[1]_5 & [2]_5 & [0]_5 \\ [4]_5 & [4]_5 & [2]_5 \end{array}\right]\]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.

\[\begin{array}{rr|r|l}
[1]_5 & [2]_5 & [0]_5 & \\[0.25em]
[4]_5 & [4]_5 & [2]_5 & \text{II} + \text{I} \\[0.25em]
\hline
[1]_5 & [2]_5 & [0]_5 & \\[0.25em]
[0]_5 & [1]_5 & [2]_5 &
\end{array}\]

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden.

\[\begin{align*}
\lambda_2 &= [2]_5 \\[1em]
\lambda_1 &= [0]_5-[2]_5 \cdot \lambda_2 \\[0.5em]
&= [0]_5-[2]_5 \cdot [2]_5 \\[0.5em]
&= [1]_5
\end{align*}\]

Mithilfe der gefundenen Lösung kann nun der Vektor $ v$ als Linearkombination der Vektoren $ v_1,v_2$ dargestellt und das Bild $f(v)$ unter Zuhilfenahme der Homogenität und Additivität der linearen Abbildung $f$ direkt berechnet werden.

\begin{align*} f(v) &= f\left(v_1 + [2]_5v_2\right) \\[0.5em]
&= f\left(v_1\right) + f\left([2]_5v_2\right) \\[0.5em]
&= f\left(v_1\right) + [2]_5f\left(v_2\right) \\[0.5em]
&= \begin{bmatrix} [4]_5 \\ [0]_5 \\ [1]_5 \end{bmatrix} + [2]_5 \cdot \begin{bmatrix} [1]_5 \\ [1]_5 \\ [4]_5 \end{bmatrix} \\[0.5em]
&= \begin{bmatrix} [1]_5 \\ [2]_5 \\ [4]_5 \end{bmatrix}\end{align*}
Lösung überprüfen

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 1 von 3

Gib das berechnete Bild $f(v)$ ein.

$ 0$
$ 0$
$ 0$

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 2 von 3

Gib das berechnete Bild $f(v)$ ein.

$ 0$
$ 0$

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 3 von 3

Gib das berechnete Bild $f(v)$ ein.

$ [0]_5$
$ [0]_5$
$ [0]_5$