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Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung – Interaktiver Aufgabengenerator

Artikel zum Nachlesen: Lineare Abbildung

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Lineare Abbildung: Abbildungsmatrix erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren, prozedural generierten Übungsaufgaben. Er unterstützt dich dabei, die Aufgaben zu lösen, das Thema ausgiebig zu üben und zu verstehen. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Schritt-für-Schritt Musterlösung und bietet dir zudem die Möglichkeit, deine eigenen Lösungen direkt zu überprüfen. Alle Lösungen und Lösungswege werden deterministisch mithilfe der zugrundeliegenden mathematischen Verfahren berechnet. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte und eigene Aufgaben im vollen Umfang zur Verfügung.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Die ausgewählten Beispiele ermöglichen es dir, einige Generator-Konfigurationen und die verfügbare Unterstützung beim Lösen der Aufgaben unverbindlich und in aller Ruhe kennenzulernen.

Aufgabe 1 von 3

Gegeben seien eine lineare Abbildung $f: \Q^{2} \rightarrow\Q^{3}$ , die Vektoren $v_{1}, v_{2}$ sowie deren Bilder $f(v_{1}), f(v_{2})$ .

v_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \quad v_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}

f(v_{1}) = \begin{bmatrix} 5 \\ -8 \\ -1 \end{bmatrix} \quad f(v_{2}) = \begin{bmatrix} -9 \\ -7 \\ -5 \end{bmatrix}

Bestimme die zur linearen Abbildung $f$ gehörende Abbildungsmatrix.

Aufgabengenerator

Der Aufgabengenerator ermöglicht es dir, beliebig viele, an deine individuellen Bedürfnisse angepasste Aufgaben zu generieren, um dich perfekt mit dem Thema vertraut zu machen. Auf Wunsch haben erzeugte Aufgaben garantiert ganzzahlige Lösungen und Rechenwege – für maximalen Fokus auf das zugrundeliegende Verfahren.

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Konfiguration anpassen

Konfiguriere den Aufgabengenerator nach deinen Wünschen – von einfachen Beispielen bis zu anspruchsvollen Herausforderungen.

Lege die minimale und die maximale Dimension des Urbilds (jeweils von 1 bis 10) sowie die minimale und die maximale Dimension des Bilds (jeweils von 1 bis 10) fest und entscheide, welchen Typ die Elemente der Vektoren haben sollen: Zur Auswahl stehen ganze Zahlen $\Z$, rationale Zahlen $\Q$ und Restklassenkörper $\Z_p$ mit einstellbarem $p$. Die Auswahl ganzzahliger Elemente garantiert, dass sowohl die Lösung als auch der gesamte Rechenweg ganzzahlig bleiben.

Dimension des Urbilds:

–

Dimension des Bilds:

–

Typ der Elemente:

Ganze Zahlen $\Z$

Rationale Zahlen $\Q$

Restklassenkörper $\Z_p$ mit $p=$

Hier könnte deine generierte Aufgabe stehen!

Eigene Aufgabe

Eigene Aufgabe verwenden

Löse deine eigenen Aufgaben oder lasse deiner Neugier freien Lauf – mit voller Unterstützung des Generators.

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Gib die Dimensionen von Urbild und Bild sowie den Zahlenbereich an, aus dem die Koeffizienten der Vektoren stammen sollen.

Dimension des Urbild:

Dimension des Bild:

Typ der Elemente:

Rationale Zahlen $\Q$

Restklassenkörper $\Z_p$ mit $p=$

Gib die Basisvektoren und ihre Bilder ein, die die lineare Abbildung beschreiben.

\[v_1=\]

$ 0$

$ 0$

$ 0$

\[v_2=\]

$ 0$

$ 0$

$ 0$

\[v_3=\]

$ 0$

$ 0$

$ 0$

f(v_{1})=

$ 0$

$ 0$

$ 0$

f(v_{2})=

$ 0$

$ 0$

$ 0$

f(v_{3})=

$ 0$

$ 0$

$ 0$

Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung: Beispielaufgabe 1 von 3

Zum Bestimmen der zur linearen Abbildung $f$ gehörenden Abbildungsmatrix müssen zunächst die Bilder der kanonischen Einheitsvektoren $$ e_1,e_2$$ bestimmt werden.

Berechnung des Bildes

f(e_{1})

Zum Bestimmen des Bildes $$f(e_1)$$ muss zunächst der Vektor $$ e_1$$ als Linearkombination der Vektoren $$ v_1,v_2$$ dargestellt werden. Hierzu wird das folgende lineare Gleichungssystem gelöst.

\lambda_1v_1 + \lambda_2v_2=e_1

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\left[\begin{array}{rr|r}1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}\right]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.

\begin{array}{rr|r|l}1 & 0 & 1 & \\[0.25em]2 & 1 & 0 & \text{II} - 2 \cdot \text{I} \\[0.25em]\hline1 & 0 & 1 & \\[0.25em]0 & 1 & -2 & \end{array}

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden.

\begin{align*}\lambda_2 &= -2 \\[1em]\lambda_1 &= 1\end{align*}

Mithilfe der gefundenen Lösung kann nun der Vektor $$ e_1$$ als Linearkombination der Vektoren $$ v_1,v_2$$ dargestellt und das Bild $$f(e_1)$$ unter Zuhilfenahme der Homogenität und Additivität der linearen Abbildung $f$ direkt berechnet werden.

\begin{align*} f(e_1) &= f\left(v_1 - 2v_2\right) \\[0.5em] &= f\left(v_1\right) + f\left(-2v_2\right) \\[0.5em] &= f\left(v_1\right) - 2f\left(v_2\right) \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} 5 \\ -8 \\ -1 \end{bmatrix} - 2 \cdot \begin{bmatrix} -9 \\ -7 \\ -5 \end{bmatrix} \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} 23 \\ 6 \\ 9 \end{bmatrix}\end{align*}

Berechnung des Bildes

f(e_{2})

Zum Bestimmen des Bildes $$f(e_2)$$ muss zunächst der Vektor $$ e_2$$ als Linearkombination der Vektoren $$ v_1,v_2$$ dargestellt werden. Hierzu wird das folgende lineare Gleichungssystem gelöst.

\lambda_1v_1 + \lambda_2v_2=e_2

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\left[\begin{array}{rr|r}1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{array}\right]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.

\begin{array}{rr|r|l}1 & 0 & 0 & \\[0.25em]2 & 1 & 1 & \text{II} - 2 \cdot \text{I} \\[0.25em]\hline1 & 0 & 0 & \\[0.25em]0 & 1 & 1 & \end{array}

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden.

\begin{align*}\lambda_2 &= 1 \\[1em]\lambda_1 &= 0\end{align*}

Mithilfe der gefundenen Lösung kann nun der Vektor $$ e_2$$ als Linearkombination der Vektoren $$ v_1,v_2$$ dargestellt und das Bild $$f(e_2)$$ unter Zuhilfenahme der Homogenität und Additivität der linearen Abbildung $f$ direkt berechnet werden.

\begin{align*} f(e_2) &= f\left(v_2\right) \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} -9 \\ -7 \\ -5 \end{bmatrix}\end{align*}

Für die Bilder der kanonischen Einheitsvektoren wurden die folgenden Bilder gefunden:

f(e_{1}) = \begin{bmatrix} 23 \\ 6 \\ 9 \end{bmatrix} \quad f(e_{2}) = \begin{bmatrix} -9 \\ -7 \\ -5 \end{bmatrix}

Diese können nun verwendet werden, um die gesuchte Abbildungsmatrix direkt zu erzeugen. Bei den gefundenen Bildern der kanonischen Einheitsvektoren handelt es sich um Spalten der Abbildungsmatrix.

\begin{align*} A &= \begin{bmatrix} \mid & \mid \\[0.25em] f(e_1) & f(e_2) \\[0.25em] \mid & \mid \end{bmatrix} \\[0.5em] &=\begin{bmatrix} 23 & -9 \\ 6 & -7 \\ 9 & -5 \end{bmatrix}\end{align*}

Musterlösung: Beispielaufgabe 2 von 3

Zum Bestimmen der zur linearen Abbildung $f$ gehörenden Abbildungsmatrix müssen zunächst die Bilder der kanonischen Einheitsvektoren $e_1,\ldots,e_4$ bestimmt werden.

Berechnung des Bildes

f(e_{1})

Zum Bestimmen des Bildes $$f(e_1)$$ muss zunächst der Vektor $$ e_1$$ als Linearkombination der Vektoren $v_1,\ldots,v_4$ dargestellt werden. Hierzu wird das folgende lineare Gleichungssystem gelöst.

\lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 + \lambda_3v_3 + \lambda_4v_4=e_1

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\left[\begin{array}{rrrr|r}1 & -2 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & -5 & 4 & 3 & 0 \\ -1 & 3 & 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -5 & 0 & 0 \end{array}\right]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.

\begin{array}{rrrr|r|l}1 & -2 & 1 & 1 & 1 & \\[0.25em]3 & -5 & 4 & 3 & 0 & \text{II} - 3 \cdot \text{I} \\[0.25em]-1 & 3 & 1 & -1 & 0 & \text{III} + \text{I} \\[0.25em]-1 & 0 & -5 & 0 & 0 & \text{IV} + \text{I} \\[0.25em]\hline1 & -2 & 1 & 1 & 1 & \\[0.25em]0 & 1 & 1 & 0 & -3 & \\[0.25em]0 & 1 & 2 & 0 & 1 & \text{III} - \text{II} \\[0.25em]0 & -2 & -4 & 1 & 1 & \text{IV} + 2 \cdot \text{II} \\[0.25em]\hline1 & -2 & 1 & 1 & 1 & \\[0.25em]0 & 1 & 1 & 0 & -3 & \\[0.25em]0 & 0 & 1 & 0 & 4 & \\[0.25em]0 & 0 & -2 & 1 & -5 & \text{IV} + 2 \cdot \text{III} \\[0.25em]\hline1 & -2 & 1 & 1 & 1 & \\[0.25em]0 & 1 & 1 & 0 & -3 & \\[0.25em]0 & 0 & 1 & 0 & 4 & \\[0.25em]0 & 0 & 0 & 1 & 3 & \end{array}

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden.

\begin{align*}\lambda_4 &= 3 \\[1em]\lambda_3 &= 4 \\[1em]\lambda_2 &= -3-\lambda_3 \\[0.5em]&= -3-4 \\[0.5em]&= -7 \\[1em]\lambda_1 &= 1+2\lambda_2-\lambda_3-\lambda_4 \\[0.5em]&= 1+2 \cdot \left(-7\right)-4-3 \\[0.5em]&= -20\end{align*}

Mithilfe der gefundenen Lösung kann nun der Vektor $$ e_1$$ als Linearkombination der Vektoren $v_1,\ldots,v_4$ dargestellt und das Bild $$f(e_1)$$ unter Zuhilfenahme der Homogenität und Additivität der linearen Abbildung $f$ direkt berechnet werden.

\begin{align*} f(e_1) &= f\left( - 20v_1 - 7v_2 + 4v_3 + 3v_4\right) \\[0.5em] &= f\left(-20v_1\right) + f\left(-7v_2\right) + f\left(4v_3\right) + f\left(3v_4\right) \\[0.5em] &= - 20f\left(v_1\right) - 7f\left(v_2\right) + 4f\left(v_3\right) + 3f\left(v_4\right) \\[0.5em] &= - 20 \cdot \begin{bmatrix} -7 \\ -4 \end{bmatrix} - 7 \cdot \begin{bmatrix} -4 \\ -1 \end{bmatrix} + 4 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ -5 \end{bmatrix} + 3 \cdot \begin{bmatrix} -1 \\ -6 \end{bmatrix} \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} 169 \\ 49 \end{bmatrix}\end{align*}

Berechnung des Bildes

f(e_{2})

Zum Bestimmen des Bildes $$f(e_2)$$ muss zunächst der Vektor $$ e_2$$ als Linearkombination der Vektoren $v_1,\ldots,v_4$ dargestellt werden. Hierzu wird das folgende lineare Gleichungssystem gelöst.

\lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 + \lambda_3v_3 + \lambda_4v_4=e_2

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\left[\begin{array}{rrrr|r}1 & -2 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & -5 & 4 & 3 & 1 \\ -1 & 3 & 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -5 & 0 & 0 \end{array}\right]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.

\begin{array}{rrrr|r|l}1 & -2 & 1 & 1 & 0 & \\[0.25em]3 & -5 & 4 & 3 & 1 & \text{II} - 3 \cdot \text{I} \\[0.25em]-1 & 3 & 1 & -1 & 0 & \text{III} + \text{I} \\[0.25em]-1 & 0 & -5 & 0 & 0 & \text{IV} + \text{I} \\[0.25em]\hline1 & -2 & 1 & 1 & 0 & \\[0.25em]0 & 1 & 1 & 0 & 1 & \\[0.25em]0 & 1 & 2 & 0 & 0 & \text{III} - \text{II} \\[0.25em]0 & -2 & -4 & 1 & 0 & \text{IV} + 2 \cdot \text{II} \\[0.25em]\hline1 & -2 & 1 & 1 & 0 & \\[0.25em]0 & 1 & 1 & 0 & 1 & \\[0.25em]0 & 0 & 1 & 0 & -1 & \\[0.25em]0 & 0 & -2 & 1 & 2 & \text{IV} + 2 \cdot \text{III} \\[0.25em]\hline1 & -2 & 1 & 1 & 0 & \\[0.25em]0 & 1 & 1 & 0 & 1 & \\[0.25em]0 & 0 & 1 & 0 & -1 & \\[0.25em]0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \end{array}

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden.

\begin{align*}\lambda_4 &= 0 \\[1em]\lambda_3 &= -1 \\[1em]\lambda_2 &= 1-\lambda_3 \\[0.5em]&= 1-\left(-1\right) \\[0.5em]&= 2 \\[1em]\lambda_1 &= 0+2\lambda_2-\lambda_3-\lambda_4 \\[0.5em]&= 0+2 \cdot 2-\left(-1\right)-0 \\[0.5em]&= 5\end{align*}

Mithilfe der gefundenen Lösung kann nun der Vektor $$ e_2$$ als Linearkombination der Vektoren $v_1,\ldots,v_4$ dargestellt und das Bild $$f(e_2)$$ unter Zuhilfenahme der Homogenität und Additivität der linearen Abbildung $f$ direkt berechnet werden.

\begin{align*} f(e_2) &= f\left(5v_1 + 2v_2 - v_3\right) \\[0.5em] &= f\left(5v_1\right) + f\left(2v_2\right) + f\left(-v_3\right) \\[0.5em] &= 5f\left(v_1\right) + 2f\left(v_2\right) - f\left(v_3\right) \\[0.5em] &= 5 \cdot \begin{bmatrix} -7 \\ -4 \end{bmatrix} + 2 \cdot \begin{bmatrix} -4 \\ -1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 \\ -5 \end{bmatrix} \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} -44 \\ -17 \end{bmatrix}\end{align*}

Berechnung des Bildes

f(e_{3})

Zum Bestimmen des Bildes $$f(e_3)$$ muss zunächst der Vektor $$ e_3$$ als Linearkombination der Vektoren $v_1,\ldots,v_4$ dargestellt werden. Hierzu wird das folgende lineare Gleichungssystem gelöst.

\lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 + \lambda_3v_3 + \lambda_4v_4=e_3

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\left[\begin{array}{rrrr|r}1 & -2 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & -5 & 4 & 3 & 0 \\ -1 & 3 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & -5 & 0 & 0 \end{array}\right]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.

\begin{array}{rrrr|r|l}1 & -2 & 1 & 1 & 0 & \\[0.25em]3 & -5 & 4 & 3 & 0 & \text{II} - 3 \cdot \text{I} \\[0.25em]-1 & 3 & 1 & -1 & 1 & \text{III} + \text{I} \\[0.25em]-1 & 0 & -5 & 0 & 0 & \text{IV} + \text{I} \\[0.25em]\hline1 & -2 & 1 & 1 & 0 & \\[0.25em]0 & 1 & 1 & 0 & 0 & \\[0.25em]0 & 1 & 2 & 0 & 1 & \text{III} - \text{II} \\[0.25em]0 & -2 & -4 & 1 & 0 & \text{IV} + 2 \cdot \text{II} \\[0.25em]\hline1 & -2 & 1 & 1 & 0 & \\[0.25em]0 & 1 & 1 & 0 & 0 & \\[0.25em]0 & 0 & 1 & 0 & 1 & \\[0.25em]0 & 0 & -2 & 1 & 0 & \text{IV} + 2 \cdot \text{III} \\[0.25em]\hline1 & -2 & 1 & 1 & 0 & \\[0.25em]0 & 1 & 1 & 0 & 0 & \\[0.25em]0 & 0 & 1 & 0 & 1 & \\[0.25em]0 & 0 & 0 & 1 & 2 & \end{array}

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden.

\begin{align*}\lambda_4 &= 2 \\[1em]\lambda_3 &= 1 \\[1em]\lambda_2 &= 0-\lambda_3 \\[0.5em]&= 0-1 \\[0.5em]&= -1 \\[1em]\lambda_1 &= 0+2\lambda_2-\lambda_3-\lambda_4 \\[0.5em]&= 0+2 \cdot \left(-1\right)-1-2 \\[0.5em]&= -5\end{align*}

Mithilfe der gefundenen Lösung kann nun der Vektor $$ e_3$$ als Linearkombination der Vektoren $v_1,\ldots,v_4$ dargestellt und das Bild $$f(e_3)$$ unter Zuhilfenahme der Homogenität und Additivität der linearen Abbildung $f$ direkt berechnet werden.

\begin{align*} f(e_3) &= f\left( - 5v_1 - v_2 + v_3 + 2v_4\right) \\[0.5em] &= f\left(-5v_1\right) + f\left(-v_2\right) + f\left(v_3\right) + f\left(2v_4\right) \\[0.5em] &= - 5f\left(v_1\right) - f\left(v_2\right) + f\left(v_3\right) + 2f\left(v_4\right) \\[0.5em] &= - 5 \cdot \begin{bmatrix} -7 \\ -4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -4 \\ -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ -5 \end{bmatrix} + 2 \cdot \begin{bmatrix} -1 \\ -6 \end{bmatrix} \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} 38 \\ 4 \end{bmatrix}\end{align*}

Berechnung des Bildes

f(e_{4})

Zum Bestimmen des Bildes $$f(e_4)$$ muss zunächst der Vektor $$ e_4$$ als Linearkombination der Vektoren $v_1,\ldots,v_4$ dargestellt werden. Hierzu wird das folgende lineare Gleichungssystem gelöst.

\lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 + \lambda_3v_3 + \lambda_4v_4=e_4

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\left[\begin{array}{rrrr|r}1 & -2 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & -5 & 4 & 3 & 0 \\ -1 & 3 & 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -5 & 0 & 1 \end{array}\right]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.

\begin{array}{rrrr|r|l}1 & -2 & 1 & 1 & 0 & \\[0.25em]3 & -5 & 4 & 3 & 0 & \text{II} - 3 \cdot \text{I} \\[0.25em]-1 & 3 & 1 & -1 & 0 & \text{III} + \text{I} \\[0.25em]-1 & 0 & -5 & 0 & 1 & \text{IV} + \text{I} \\[0.25em]\hline1 & -2 & 1 & 1 & 0 & \\[0.25em]0 & 1 & 1 & 0 & 0 & \\[0.25em]0 & 1 & 2 & 0 & 0 & \text{III} - \text{II} \\[0.25em]0 & -2 & -4 & 1 & 1 & \text{IV} + 2 \cdot \text{II} \\[0.25em]\hline1 & -2 & 1 & 1 & 0 & \\[0.25em]0 & 1 & 1 & 0 & 0 & \\[0.25em]0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \\[0.25em]0 & 0 & -2 & 1 & 1 & \text{IV} + 2 \cdot \text{III} \\[0.25em]\hline1 & -2 & 1 & 1 & 0 & \\[0.25em]0 & 1 & 1 & 0 & 0 & \\[0.25em]0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \\[0.25em]0 & 0 & 0 & 1 & 1 & \end{array}

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden.

\begin{align*}\lambda_4 &= 1 \\[1em]\lambda_3 &= 0 \\[1em]\lambda_2 &= 0-\lambda_3 \\[0.5em]&= 0-0 \\[0.5em]&= 0 \\[1em]\lambda_1 &= 0+2\lambda_2-\lambda_3-\lambda_4 \\[0.5em]&= 0+2 \cdot 0-0-1 \\[0.5em]&= -1\end{align*}

Mithilfe der gefundenen Lösung kann nun der Vektor $$ e_4$$ als Linearkombination der Vektoren $v_1,\ldots,v_4$ dargestellt und das Bild $$f(e_4)$$ unter Zuhilfenahme der Homogenität und Additivität der linearen Abbildung $f$ direkt berechnet werden.

\begin{align*} f(e_4) &= f\left( - v_1 + v_4\right) \\[0.5em] &= f\left(-v_1\right) + f\left(v_4\right) \\[0.5em] &= - f\left(v_1\right) + f\left(v_4\right) \\[0.5em] &= - \begin{bmatrix} -7 \\ -4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 \\ -6 \end{bmatrix} \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} 6 \\ -2 \end{bmatrix}\end{align*}

Für die Bilder der kanonischen Einheitsvektoren wurden die folgenden Bilder gefunden:

f(e_{1}) = \begin{bmatrix} 169 \\ 49 \end{bmatrix} \quad f(e_{2}) = \begin{bmatrix} -44 \\ -17 \end{bmatrix} \quad f(e_{3}) = \begin{bmatrix} 38 \\ 4 \end{bmatrix} \quad f(e_{4}) = \begin{bmatrix} 6 \\ -2 \end{bmatrix}

Diese können nun verwendet werden, um die gesuchte Abbildungsmatrix direkt zu erzeugen. Bei den gefundenen Bildern der kanonischen Einheitsvektoren handelt es sich um Spalten der Abbildungsmatrix.

\begin{align*} A &= \begin{bmatrix} \mid & & \mid \\[0.25em] f(e_1) & \ldots & f(e_{4}) \\[0.25em] \mid & & \mid \end{bmatrix} \\[0.5em] &=\begin{bmatrix} 169 & -44 & 38 & 6 \\ 49 & -17 & 4 & -2 \end{bmatrix}\end{align*}

Musterlösung: Beispielaufgabe 3 von 3

Zum Bestimmen der zur linearen Abbildung $f$ gehörenden Abbildungsmatrix müssen zunächst die Bilder der kanonischen Einheitsvektoren $$ e_1,e_2$$ bestimmt werden.

Berechnung des Bildes

f(e_{1})

Zum Bestimmen des Bildes $$f(e_1)$$ muss zunächst der Vektor $$ e_1$$ als Linearkombination der Vektoren $$ v_1,v_2$$ dargestellt werden. Hierzu wird das folgende lineare Gleichungssystem gelöst.

\lambda_1v_1 + \lambda_2v_2=e_1

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\left[\begin{array}{rr|r}[1]_5 & [2]_5 & [1]_5 \\ [4]_5 & [4]_5 & [0]_5 \end{array}\right]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.

\begin{array}{rr|r|l}[1]_5 & [2]_5 & [1]_5 & \\[0.25em][4]_5 & [4]_5 & [0]_5 & \text{II} + \text{I} \\[0.25em]\hline[1]_5 & [2]_5 & [1]_5 & \\[0.25em][0]_5 & [1]_5 & [1]_5 & \end{array}

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden.

\begin{align*}\lambda_2 &= [1]_5 \\[1em]\lambda_1 &= [1]_5-[2]_5 \cdot \lambda_2 \\[0.5em]&= [1]_5-[2]_5 \cdot [1]_5 \\[0.5em]&= [4]_5\end{align*}

\begin{align*} f(e_1) &= f\left([4]_5v_1 + v_2\right) \\[0.5em] &= f\left([4]_5v_1\right) + f\left(v_2\right) \\[0.5em] &= [4]_5f\left(v_1\right) + f\left(v_2\right) \\[0.5em] &= [4]_5 \cdot \begin{bmatrix} [4]_5 \\ [0]_5 \\ [1]_5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} [1]_5 \\ [1]_5 \\ [4]_5 \end{bmatrix} \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} [2]_5 \\ [1]_5 \\ [3]_5 \end{bmatrix}\end{align*}

Berechnung des Bildes

f(e_{2})

Zum Bestimmen des Bildes $$f(e_2)$$ muss zunächst der Vektor $$ e_2$$ als Linearkombination der Vektoren $$ v_1,v_2$$ dargestellt werden. Hierzu wird das folgende lineare Gleichungssystem gelöst.

\lambda_1v_1 + \lambda_2v_2=e_2

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\left[\begin{array}{rr|r}[1]_5 & [2]_5 & [0]_5 \\ [4]_5 & [4]_5 & [1]_5 \end{array}\right]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.

\begin{array}{rr|r|l}[1]_5 & [2]_5 & [0]_5 & \\[0.25em][4]_5 & [4]_5 & [1]_5 & \text{II} + \text{I} \\[0.25em]\hline[1]_5 & [2]_5 & [0]_5 & \\[0.25em][0]_5 & [1]_5 & [1]_5 & \end{array}

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden.

\begin{align*}\lambda_2 &= [1]_5 \\[1em]\lambda_1 &= [0]_5-[2]_5 \cdot \lambda_2 \\[0.5em]&= [0]_5-[2]_5 \cdot [1]_5 \\[0.5em]&= [3]_5\end{align*}

\begin{align*} f(e_2) &= f\left([3]_5v_1 + v_2\right) \\[0.5em] &= f\left([3]_5v_1\right) + f\left(v_2\right) \\[0.5em] &= [3]_5f\left(v_1\right) + f\left(v_2\right) \\[0.5em] &= [3]_5 \cdot \begin{bmatrix} [4]_5 \\ [0]_5 \\ [1]_5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} [1]_5 \\ [1]_5 \\ [4]_5 \end{bmatrix} \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} [3]_5 \\ [1]_5 \\ [2]_5 \end{bmatrix}\end{align*}

Für die Bilder der kanonischen Einheitsvektoren wurden die folgenden Bilder gefunden:

f(e_{1}) = \begin{bmatrix} [2]_5 \\ [1]_5 \\ [3]_5 \end{bmatrix} \quad f(e_{2}) = \begin{bmatrix} [3]_5 \\ [1]_5 \\ [2]_5 \end{bmatrix}

Diese können nun verwendet werden, um die gesuchte Abbildungsmatrix direkt zu erzeugen. Bei den gefundenen Bildern der kanonischen Einheitsvektoren handelt es sich um Spalten der Abbildungsmatrix.

\begin{align*} A &= \begin{bmatrix} \mid & \mid \\[0.25em] f(e_1) & f(e_2) \\[0.25em] \mid & \mid \end{bmatrix} \\[0.5em] &=\begin{bmatrix} [2]_5 & [3]_5 \\ [1]_5 & [1]_5 \\ [3]_5 & [2]_5 \end{bmatrix}\end{align*}

Lösung überprüfen

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 1 von 3

Gib die berechnete Abbildungsmatrix ein.

$$ 0$$	$$ 0$$
$$ 0$$	$$ 0$$
$$ 0$$	$$ 0$$

$$ [0]_5$$	$$ [0]_5$$
$$ [0]_5$$	$$ [0]_5$$
$$ [0]_5$$	$$ [0]_5$$

Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung – Interaktiver Aufgabengenerator

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Aufgabe 1 von 3

Aufgabe 2 von 3

Aufgabe 3 von 3

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