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Aufgaben

Lineares Gleichungssystem – Interaktiver Aufgabengenerator

Artikel zum Nachlesen: Lineares Gleichungssystem , Gaußsches Eliminationsverfahren , Gauß-Jordan-Algorithmus

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Lineares Gleichungssystem (Gauß-Verfahren, Gauß-Jordan-Algorithmus) erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren, prozedural generierten Übungsaufgaben. Er unterstützt dich dabei, die Aufgaben zu lösen, das Thema ausgiebig zu üben und zu verstehen. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Schritt-für-Schritt Musterlösung und bietet dir zudem die Möglichkeit, deine eigenen Lösungen direkt zu überprüfen. Alle Lösungen und Lösungswege werden deterministisch mithilfe der zugrundeliegenden mathematischen Verfahren berechnet. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte und eigene Aufgaben im vollen Umfang zur Verfügung.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Die ausgewählten Beispiele ermöglichen es dir, einige Generator-Konfigurationen und die verfügbare Unterstützung beim Lösen der Aufgaben unverbindlich und in aller Ruhe kennenzulernen.

Aufgabe 1 von 4

Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem mit Koeffizienten aus $ \Q$:

\[\begin{alignedat}{4}
x_1 &\ + &\ 2x_2 &\ + &\ 3x_3 &\ = &\ -11 \\[0.5em]
-x_1 &\ - &\ x_2 &\ - &\ x_3 &\ = &\ 2 \\[0.5em]
-3x_1 &\ - &\ 7x_2 &\ - &\ 10x_3 &\ = &\ 38
\end{alignedat}\]

Löse das lineare Gleichungssystem mithilfe des Gauß-Algorithmus.

Aufgabe 2 von 4

Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem mit Koeffizienten aus $ \Q$:

\[\begin{alignedat}{4}
x_1 &\ + &\ 2x_2 &\ + &\ 3x_3 &\ = &\ -11 \\[0.5em]
-x_1 &\ - &\ x_2 &\ - &\ x_3 &\ = &\ 2 \\[0.5em]
-3x_1 &\ - &\ 7x_2 &\ - &\ 10x_3 &\ = &\ 38
\end{alignedat}\]

Löse das lineare Gleichungssystem mithilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus.

Aufgabe 3 von 4

Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem mit Koeffizienten aus $ \Q$:

\[\begin{alignedat}{6}
x_1 &\ + &\ x_2 &\ - &\ 6x_3 &\ - &\ 2x_4 &\ + &\ 9x_5 &\ = &\ 3 \\[0.5em]
3x_1 &\ + &\ 6x_2 &\ - &\ 30x_3 &\ - &\ 9x_4 &\ + &\ 51x_5 &\ = &\ 0 \\[0.5em]
-x_1 &\ - &\ 4x_2 &\ + &\ 18x_3 &\ + &\ 7x_4 &\ - &\ 39x_5 &\ = &\ 2 \\[0.5em]
&\ - &\ 3x_2 &\ + &\ 12x_3 &\ + &\ 3x_4 &\ - &\ 24x_5 &\ = &\ 9
\end{alignedat}\]

Löse das lineare Gleichungssystem mithilfe des Gauß-Algorithmus.

Aufgabe 4 von 4

Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem mit Koeffizienten aus $ \Z_{7}$:

\[\begin{alignedat}{4}
[6]_7 \cdot x_1 &\ + &\ [6]_7 \cdot x_2 &\ + &\ [4]_7 \cdot x_3 &\ = &\ [6]_7 \\[0.5em]
[3]_7 \cdot x_1 &\ + &\ [4]_7 \cdot x_2 &\ + &\ [2]_7 \cdot x_3 &\ = &\ [4]_7
\end{alignedat}\]

Löse das lineare Gleichungssystem mithilfe des Gauß-Algorithmus.

Aufgabengenerator

Aufgabengenerator

Der Aufgabengenerator ermöglicht es dir, beliebig viele, an deine individuellen Bedürfnisse angepasste Aufgaben zu generieren, um dich perfekt mit dem Thema vertraut zu machen. Auf Wunsch haben erzeugte Aufgaben garantiert ganzzahlige Lösungen und Rechenwege – für maximalen Fokus auf das zugrundeliegende Verfahren.

Melde dich an, um unbegrenzt Übungsaufgaben zu erzeugen. Jetzt anmelden!
Konfiguration anpassen

Konfiguriere den Aufgabengenerator nach deinen Wünschen – von einfachen Beispielen bis zu anspruchsvollen Herausforderungen.

Lege die Anzahl der Gleichungen (von 1 bis 10), die Anzahl der Variablen (von 1 bis 10) und die Anzahl der freien Variablen (von 0 bis 9) fest. Entscheide, ob ein homogenes lineares Gleichungssystem erstellt werden soll – standardmäßig ist es inhomogen. Entscheide außerdem, ob die Koeffizientenmatrix in die reduzierte Zeilenstufenform überführt werden soll – Standard ist die normale Zeilenstufenform. Lege zudem fest, welchen Typ die Koeffizienten des Gleichungssystems sowie die Ergebnisse haben sollen: Zur Auswahl stehen ganze Zahlen $\Z$, rationale Zahlen $\Q$ und Restklassenkörper $\Z_p$ mit einstellbarem $p$. Die Auswahl ganzzahliger Koeffizienten garantiert, dass sowohl die Lösung als auch der gesamte Rechenweg – auch in reduzierter Zeilenstufenform – ganzzahlig bleiben.

Hier könnte deine generierte Aufgabe stehen!
Eigene Aufgabe

Eigene Aufgabe verwenden

Löse deine eigenen Aufgaben oder lasse deiner Neugier freien Lauf – mit voller Unterstützung des Generators.

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Gib zunächst die Anzahl der Gleichungen, die Anzahl der Variablen und den Zahlenbereich an, aus dem die Koeffizienten stammen sollen. Entscheide außerdem, ob anstelle des Gauß-Verfahrens das Gauß-Jordan-Verfahren verwendet werden soll.

Gib die Koeffizientenmatrix $A$ sowie den Lösungsvektor $b$ des linearen Gleichungssystems ein.

\[A=\]
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
\[b=\]
$ 0$
$ 0$
$ 0$

Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung: Beispielaufgabe 1 von 4

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\[\left[\begin{array}{rrr|r}1 & 2 & 3 & -11 \\ -1 & -1 & -1 & 2 \\ -3 & -7 & -10 & 38 \end{array}\right]\]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.

\[\begin{array}{rrr|r|l}
1 & 2 & 3 & -11 & \\[0.25em]
-1 & -1 & -1 & 2 & \text{II} + \text{I} \\[0.25em]
-3 & -7 & -10 & 38 & \text{III} + 3 \cdot \text{I} \\[0.25em]
\hline
1 & 2 & 3 & -11 & \\[0.25em]
0 & 1 & 2 & -9 & \\[0.25em]
0 & -1 & -1 & 5 & \text{III} + \text{II} \\[0.25em]
\hline
1 & 2 & 3 & -11 & \\[0.25em]
0 & 1 & 2 & -9 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & -4 &
\end{array}\]

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden.

\[\begin{align*}
x_3 &= -4 \\[1em]
x_2 &= -9-2x_3 \\[0.5em]
&= -9-2 \cdot \left(-4\right) \\[0.5em]
&= -1 \\[1em]
x_1 &= -11-2x_2-3x_3 \\[0.5em]
&= -11-2 \cdot \left(-1\right)-3 \cdot \left(-4\right) \\[0.5em]
&= 3
\end{align*}\]

Musterlösung: Beispielaufgabe 2 von 4

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\[\left[\begin{array}{rrr|r}1 & 2 & 3 & -11 \\ -1 & -1 & -1 & 2 \\ -3 & -7 & -10 & 38 \end{array}\right]\]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus schrittweise in reduzierte Zeilenstufenform überführt.

\[\begin{array}{rrr|r|l}
1 & 2 & 3 & -11 & \\[0.25em]
-1 & -1 & -1 & 2 & \text{II} + \text{I} \\[0.25em]
-3 & -7 & -10 & 38 & \text{III} + 3 \cdot \text{I} \\[0.25em]
\hline
1 & 2 & 3 & -11 & \\[0.25em]
0 & 1 & 2 & -9 & \\[0.25em]
0 & -1 & -1 & 5 & \text{III} + \text{II} \\[0.25em]
\hline
1 & 2 & 3 & -11 & \text{I} - 3 \cdot \text{III} \\[0.25em]
0 & 1 & 2 & -9 & \text{II} - 2 \cdot \text{III} \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & -4 & \\[0.25em]
\hline
1 & 2 & 0 & 1 & \text{I} - 2 \cdot \text{II} \\[0.25em]
0 & 1 & 0 & -1 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & -4 & \\[0.25em]
\hline
1 & 0 & 0 & 3 & \\[0.25em]
0 & 1 & 0 & -1 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & -4 &
\end{array}\]

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden.

\[\begin{align*}
x_3 &= -4 \\[1em]
x_2 &= -1 \\[1em]
x_1 &= 3
\end{align*}\]

Musterlösung: Beispielaufgabe 3 von 4

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\[\left[\begin{array}{rrrrr|r}1 & 1 & -6 & -2 & 9 & 3 \\ 3 & 6 & -30 & -9 & 51 & 0 \\ -1 & -4 & 18 & 7 & -39 & 2 \\ 0 & -3 & 12 & 3 & -24 & 9 \end{array}\right]\]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.

\[\begin{array}{rrrrr|r|l}
1 & 1 & -6 & -2 & 9 & 3 & \\[0.25em]
3 & 6 & -30 & -9 & 51 & 0 & \text{II} - 3 \cdot \text{I} \\[0.25em]
-1 & -4 & 18 & 7 & -39 & 2 & \text{III} + \text{I} \\[0.25em]
0 & -3 & 12 & 3 & -24 & 9 & \\[0.25em]
\hline
1 & 1 & -6 & -2 & 9 & 3 & \\[0.25em]
0 & 3 & -12 & -3 & 24 & -9 & \text{II} \cdot \frac{1}{3} \\[0.25em]
0 & -3 & 12 & 5 & -30 & 5 & \\[0.25em]
0 & -3 & 12 & 3 & -24 & 9 & \\[0.25em]
\hline
1 & 1 & -6 & -2 & 9 & 3 & \\[0.25em]
0 & 1 & -4 & -1 & 8 & -3 & \\[0.25em]
0 & -3 & 12 & 5 & -30 & 5 & \text{III} + 3 \cdot \text{II} \\[0.25em]
0 & -3 & 12 & 3 & -24 & 9 & \text{IV} + 3 \cdot \text{II} \\[0.25em]
\hline
1 & 1 & -6 & -2 & 9 & 3 & \\[0.25em]
0 & 1 & -4 & -1 & 8 & -3 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 2 & -6 & -4 & \text{III} \cdot \frac{1}{2} \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \\[0.25em]
\hline
1 & 1 & -6 & -2 & 9 & 3 & \\[0.25em]
0 & 1 & -4 & -1 & 8 & -3 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 1 & -3 & -2 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &
\end{array}\]

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden. Für die freien Variablen werden die Parameter $ \lambda_3, \lambda_5 \in \Q$ verwendet.

\[\begin{align*}
x_5 &= \lambda_5 \\[1em]
x_4 &= -2+3x_5 \\[0.5em]
&= -2+3\lambda_5 \\[1em]
x_3 &= \lambda_3 \\[1em]
x_2 &= -3+4x_3+x_4-8x_5 \\[0.5em]
&= -3+4\lambda_3+\left(-2+3\lambda_5\right)-8\lambda_5 \\[0.5em]
&= -5+4\lambda_3-5\lambda_5 \\[1em]
x_1 &= 3-x_2+6x_3+2x_4-9x_5 \\[0.5em]
&= 3-\left(-5+4\lambda_3-5\lambda_5\right)+6\lambda_3+2 \cdot \left(-2+3\lambda_5\right)-9\lambda_5 \\[0.5em]
&= 4+2\lambda_3+2\lambda_5
\end{align*}\]

Die gefundene Lösung kann alternativ auch in Parameterform dargestellt werden.

\[x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -5 \\ 0 \\ -2 \\ 0 \end{bmatrix} + \lambda_3 \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + \lambda_5 \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ -5 \\ 0 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}\]

Musterlösung: Beispielaufgabe 4 von 4

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\[\left[\begin{array}{rrr|r}[6]_7 & [6]_7 & [4]_7 & [6]_7 \\ [3]_7 & [4]_7 & [2]_7 & [4]_7 \end{array}\right]\]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.

\[\begin{array}{rrr|r|l}
[6]_7 & [6]_7 & [4]_7 & [6]_7 & \text{I} \cdot [6]_7 \\[0.25em]
[3]_7 & [4]_7 & [2]_7 & [4]_7 & \\[0.25em]
\hline
[1]_7 & [1]_7 & [3]_7 & [1]_7 & \\[0.25em]
[3]_7 & [4]_7 & [2]_7 & [4]_7 & \text{II} + [4]_7 \cdot \text{I} \\[0.25em]
\hline
[1]_7 & [1]_7 & [3]_7 & [1]_7 & \\[0.25em]
[0]_7 & [1]_7 & [0]_7 & [1]_7 &
\end{array}\]

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden. Für die freie Variable wird der Parameter $ \lambda_3 \in \Z_{7}$ verwendet.

\[\begin{align*}
x_3 &= \lambda_3 \\[1em]
x_2 &= [1]_7 \\[1em]
x_1 &= [1]_7-x_2-[3]_7 \cdot x_3 \\[0.5em]
&= [1]_7-[1]_7-[3]_7 \cdot \lambda_3 \\[0.5em]
&= [4]_7 \cdot \lambda_3
\end{align*}\]

Die gefundene Lösung kann alternativ auch in Parameterform dargestellt werden.

\[x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} [0]_7 \\ [1]_7 \\ [0]_7 \end{bmatrix} + \lambda_3 \cdot \begin{bmatrix} [4]_7 \\ [0]_7 \\ [1]_7 \end{bmatrix}\]
Lösung überprüfen

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 1 von 4

Entscheide zunächst, ob das lineare Gleichungssystem keine, eine oder unendlich viele Lösungen besitzt.

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 2 von 4

Entscheide zunächst, ob das lineare Gleichungssystem keine, eine oder unendlich viele Lösungen besitzt.

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 3 von 4

Entscheide zunächst, ob das lineare Gleichungssystem keine, eine oder unendlich viele Lösungen besitzt.

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 4 von 4

Entscheide zunächst, ob das lineare Gleichungssystem keine, eine oder unendlich viele Lösungen besitzt.