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Aufgaben

Größter gemeinsamer Teiler von Polynomen – Interaktiver Aufgabengenerator

Artikel zum Nachlesen: Größter gemeinsamer Teiler von Polynomen

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Größter gemeinsamer Teiler von Polynomen erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren, prozedural generierten Übungsaufgaben. Er unterstützt dich dabei, die Aufgaben zu lösen, das Thema ausgiebig zu üben und zu verstehen. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Schritt-für-Schritt Musterlösung und bietet dir zudem die Möglichkeit, deine eigenen Lösungen direkt zu überprüfen. Alle Lösungen und Lösungswege werden deterministisch mithilfe der zugrundeliegenden mathematischen Verfahren berechnet. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte und eigene Aufgaben im vollen Umfang zur Verfügung.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Die ausgewählten Beispiele ermöglichen es dir, einige Generator-Konfigurationen und die verfügbare Unterstützung beim Lösen der Aufgaben unverbindlich und in aller Ruhe kennenzulernen.

Aufgabe 1 von 2

Gegeben seien die folgenden Polynome mit Koeffizienten aus $ \Q$:

\[\begin{align*}
a(x) &= -2x^8 + 2x^7 - x^3 + x^2 \\[0.5em]
b(x) &= -2x^6 + 2x^5 + x - 1
\end{align*}\]

Bestimme den normierten größten gemeinsamen Teiler der Polynome $a(x)$ und $b(x)$.

Aufgabe 2 von 2

Gegeben seien die folgenden Polynome mit Koeffizienten aus $ \Z_{5}$:

\[\begin{align*}
a(x) &= [2]_5x^4 + [2]_5x^3 + [3]_5x^2 \\[0.5em]
b(x) &= [3]_5x^3 + x^2 + x
\end{align*}\]

Bestimme den normierten größten gemeinsamen Teiler der Polynome $a(x)$ und $b(x)$.

Aufgabengenerator

Aufgabengenerator

Der Aufgabengenerator ermöglicht es dir, beliebig viele, an deine individuellen Bedürfnisse angepasste Aufgaben zu generieren, um dich perfekt mit dem Thema vertraut zu machen. Auf Wunsch haben erzeugte Aufgaben garantiert ganzzahlige Lösungen und Rechenwege – für maximalen Fokus auf das zugrundeliegende Verfahren.

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Konfiguration anpassen

Konfiguriere den Aufgabengenerator nach deinen Wünschen – von einfachen Beispielen bis zu anspruchsvollen Herausforderungen.

Lege die minimale und die maximale Anzahl der Schritte im euklidischen Algorithmus (jeweils von 2 bis 5), den minimalen und den maximalen Grad der Quotienten (jeweils von 1 bis 10) sowie die minimale und die maximale Anzahl an Monomen in den Quotienten (jeweils von 1 bis 5) fest und entscheide, welchen Typ die Koeffizienten der Polynome haben sollen: Zur Auswahl stehen ganze Zahlen $\Z$, rationale Zahlen $\Q$ und Restklassenkörper $\Z_p$ mit einstellbarem $p$. Entscheide außerdem, ob eine beliebige oder die kanonische Basis bestimmt werden soll. Die Auswahl ganzzahliger Koeffizienten garantiert, dass sowohl die Lösung als auch der gesamte Rechenweg ganzzahlig bleiben.

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Hier könnte deine generierte Aufgabe stehen!
Eigene Aufgabe

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Löse deine eigenen Aufgaben oder lasse deiner Neugier freien Lauf – mit voller Unterstützung des Generators.

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Gib an, aus welchem Zahlenbereich die Koeffizienten der Polynome stammen sollen.

Gib die Polynome $a(x)$ und $b(x)$ ein, für die der größte gemeinsame Teiler $\ggT(a(x), b(x))$ berechnet werden soll.

Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung: Beispielaufgabe 1 von 2

Mit dem euklidischen Algorithmus werden solange Zerlegungen mit Rest bestimmt, bis der Rest $0$ erreicht wird.

\[\begin{align*}
-2x^8 + 2x^7 - x^3 + x^2 &\overset{(1)}{=} x^2 \cdot \left(-2x^6 + 2x^5 + x - 1\right)-2x^3 + 2x^2 \\[0.5em]
-2x^6 + 2x^5 + x - 1 &\overset{(2)}{=} x^3 \cdot \left(-2x^3 + 2x^2\right) + x - 1 \\[0.5em]
-2x^3 + 2x^2 &\overset{(3)}{=} -2x^2 \cdot \left(x - 1\right) + 0
\end{align*}\]

Der größte gemeinsame Teiler der beiden Polynome kann nun einfach abgelesen werden – es handelt sich um den Rest in der vorletzten Zeile.

\[x - 1\]

Bei dem gefundenen größten gemeinsamen Teiler handelt es sich bereits um den normierten größten gemeinsamen Teiler.

Erklärung zu Schritt (1)

Die Berechnung der Zerlegung mit Rest kann schrittweise mittels Polynomdivision durchgeführt werden.

\begin{alignedat}{6}
& \phantom{-\bigl(}\llap{\bigl(}\,-\, &2x^8 & \,+\, & 2x^7 & \,-\, & x^3 & \,+\, & x^2\rlap{\bigr)} & &\ \, : & \, \bigl(-2x^6 + 2x^5 + x - 1\bigr) = x^2\\[0.5em]
& \phantom{-\bigl(}\llap{-\bigl(}\,-\, & 2x^8 & \,+\, & 2x^7 & \,+\, & x^3 & \,-\, & x^2\rlap{\bigr)} & & & \\[0.5em]\hline
& & & & & \,-\, & 2x^3 & \,+\, & 2x^2 & & & \\[0.5em]
\end{alignedat}

Die Division der beiden Polynome liefert die folgende Zerlegung mit Rest:

\[\underbrace{-2x^8 + 2x^7 - x^3 + x^2}_{=\ a(x)} = \left(\underbrace{x^2}_{=\ q(x)}\right) \cdot \left(\underbrace{-2x^6 + 2x^5 + x - 1}_{=\ b(x)}\right)\underbrace{-2x^3 + 2x^2}_{=\ r(x)}\]

Erklärung zu Schritt (2)

Die Berechnung der Zerlegung mit Rest kann schrittweise mittels Polynomdivision durchgeführt werden.

\begin{alignedat}{6}
& \phantom{-\bigl(}\llap{\bigl(}\,-\, &2x^6 & \,+\, & 2x^5 & \,+\, & x & \,-\, & 1\rlap{\bigr)} & &\ \, : & \, \bigl(-2x^3 + 2x^2\bigr) = x^3\\[0.5em]
& \phantom{-\bigl(}\llap{-\bigl(}\,-\, & 2x^6 & \,+\, & 2x^5\rlap{\bigr)} & & & & & & & \\[0.5em]\hline
& & & & & & x & \,-\, & 1 & & & \\[0.5em]
\end{alignedat}

Die Division der beiden Polynome liefert die folgende Zerlegung mit Rest:

\[\underbrace{-2x^6 + 2x^5 + x - 1}_{=\ a(x)} = \left(\underbrace{x^3}_{=\ q(x)}\right) \cdot \left(\underbrace{-2x^3 + 2x^2}_{=\ b(x)}\right)+\underbrace{x - 1}_{=\ r(x)}\]

Erklärung zu Schritt (3)

Die Berechnung der Zerlegung mit Rest kann schrittweise mittels Polynomdivision durchgeführt werden.

\begin{alignedat}{5}
& \phantom{-\bigl(}\llap{\bigl(}\,-\, &2x^3 & \,+\, & 2x^2\rlap{\bigr)} & & & &\ \, : & \, \bigl(x - 1\bigr) = -2x^2\\[0.5em]
& \phantom{-\bigl(}\llap{-\bigl(}\,-\, & 2x^3 & \,+\, & 2x^2\rlap{\bigr)} & & & & & \\[0.5em]\hline
& & & & & & 0 & & & \\[0.5em]
\end{alignedat}

Die Division der beiden Polynome liefert die folgende Zerlegung mit Rest:

\[\underbrace{-2x^3 + 2x^2}_{=\ a(x)} = \left(\underbrace{-2x^2}_{=\ q(x)}\right) \cdot \left(\underbrace{x - 1}_{=\ b(x)}\right)\]

Musterlösung: Beispielaufgabe 2 von 2

Mit dem euklidischen Algorithmus werden solange Zerlegungen mit Rest bestimmt, bis der Rest $0$ erreicht wird.

\[\begin{align*}
[2]_5x^4 + [2]_5x^3 + [3]_5x^2 &\overset{(1)}{=} \left([4]_5x + [1]_5\right) \cdot \left([3]_5x^3 + x^2 + x\right) + [3]_5x^2 + [4]_5x \\[0.5em]
[3]_5x^3 + x^2 + x &\overset{(2)}{=} \left(x + [4]_5\right) \cdot \left([3]_5x^2 + [4]_5x\right) + [0]_5
\end{align*}\]

Der größte gemeinsame Teiler der beiden Polynome kann nun einfach abgelesen werden – es handelt sich um den Rest in der vorletzten Zeile.

\[[3]_5x^2 + [4]_5x\]

Da der Koeffizient vor der höchsten Potenz ungleich $1$ ist, handelt es sich bei dem gefundenen größten gemeinsamen Teiler noch nicht um den normierten größten gemeinsamen Teiler. Dieser kann jedoch direkt durch Multiplikation mit dem Wert $ [2]_5$ erhalten werden.

\[x^2 + [3]_5x\]

Erklärung zu Schritt (1)

Die Berechnung der Zerlegung mit Rest kann schrittweise mittels Polynomdivision durchgeführt werden.

\begin{alignedat}{6}
& & \llap{\bigl(} [2]_5x^4 & \,+\, & [2]_5x^3 & \,+\, & [3]_5x^2\rlap{\bigr)} & & & &\ \, : & \, \bigl([3]_5x^3 + x^2 + x\bigr) = [4]_5x + [1]_5\\[0.5em]
& \phantom{-\bigl(}& \llap{-\bigl(} [2]_5x^4 & \,+\, & [4]_5x^3 & \,+\, & [4]_5x^2\rlap{\bigr)} & & & & & \\[0.5em]\hline
& & & & [3]_5x^3 & \,+\, & [4]_5x^2 & & & & & \\[0.5em]
& & & & \llap{-\bigl(} [3]_5x^3 & \,+\, & x^2 & \,+\, & x\rlap{\bigr)} & & & \\[0.5em]\hline
& & & & & & [3]_5x^2 & \,+\, & [4]_5x & & & \\[0.5em]
\end{alignedat}

Die Division der beiden Polynome liefert die folgende Zerlegung mit Rest:

\[\underbrace{[2]_5x^4 + [2]_5x^3 + [3]_5x^2}_{=\ a(x)} = \left(\underbrace{[4]_5x + [1]_5}_{=\ q(x)}\right) \cdot \left(\underbrace{[3]_5x^3 + x^2 + x}_{=\ b(x)}\right)+\underbrace{[3]_5x^2 + [4]_5x}_{=\ r(x)}\]

Erklärung zu Schritt (2)

Die Berechnung der Zerlegung mit Rest kann schrittweise mittels Polynomdivision durchgeführt werden.

\begin{alignedat}{6}
& & \llap{\bigl(} [3]_5x^3 & \,+\, & x^2 & \,+\, & x\rlap{\bigr)} & & & &\ \, : & \, \bigl([3]_5x^2 + [4]_5x\bigr) = x + [4]_5\\[0.5em]
& \phantom{-\bigl(}& \llap{-\bigl(} [3]_5x^3 & \,+\, & [4]_5x^2\rlap{\bigr)} & & & & & & & \\[0.5em]\hline
& & & & [2]_5x^2 & \,+\, & x & & & & & \\[0.5em]
& & & & \llap{-\bigl(} [2]_5x^2 & \,+\, & x\rlap{\bigr)} & & & & & \\[0.5em]\hline
& & & & & & & & [0]_5 & & & \\[0.5em]
\end{alignedat}

Die Division der beiden Polynome liefert die folgende Zerlegung mit Rest:

\[\underbrace{[3]_5x^3 + x^2 + x}_{=\ a(x)} = \left(\underbrace{x + [4]_5}_{=\ q(x)}\right) \cdot \left(\underbrace{[3]_5x^2 + [4]_5x}_{=\ b(x)}\right)\]
Lösung überprüfen

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 1 von 2

Gib den berechneten normierten größten gemeinsamen Teiler der Polynome ein.

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 2 von 2

Gib den berechneten normierten größten gemeinsamen Teiler der Polynome ein.