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Aufgaben

Nullstellen von Polynomen – Interaktiver Aufgabengenerator

Artikel zum Nachlesen: Nullstellen von Polynomen

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Nullstellen von Polynomen erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren, prozedural generierten Übungsaufgaben. Er unterstützt dich dabei, die Aufgaben zu lösen, das Thema ausgiebig zu üben und zu verstehen. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Schritt-für-Schritt Musterlösung und bietet dir zudem die Möglichkeit, deine eigenen Lösungen direkt zu überprüfen. Alle Lösungen und Lösungswege werden deterministisch mithilfe der zugrundeliegenden mathematischen Verfahren berechnet. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte und eigene Aufgaben im vollen Umfang zur Verfügung.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Die ausgewählten Beispiele ermöglichen es dir, einige Generator-Konfigurationen und die verfügbare Unterstützung beim Lösen der Aufgaben unverbindlich und in aller Ruhe kennenzulernen.

Aufgabe 1 von 4

Gegeben sei das folgenden Polynom mit Koeffizienten aus $ \Q$:

\[p(x) = x^2 - 5x + 6\]

Bestimme alle rationalen Nullstellen des Polynoms $p(x)$.

Aufgabe 2 von 4

Gegeben sei das folgenden Polynom mit Koeffizienten aus $ \Q$:

\[p(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6\]

Bestimme alle rationalen Nullstellen des Polynoms $p(x)$.

Die folgende Nullstelle darf hierfür als bekannt vorausgesetzt werden:

\[\begin{align*}
x_1 &= 1\end{align*}\]

Aufgabe 3 von 4

Gegeben sei das folgenden Polynom mit Koeffizienten aus $ \Q$:

\[p(x) = x^3 - x^2 + x - 1\]

Bestimme alle komplexen Nullstellen des Polynoms $p(x)$.

Aufgabe 4 von 4

Gegeben sei das folgenden Polynom mit Koeffizienten aus $ \Q$:

\[p(x) = x^5 - \frac{5}{2}x^4 - 18x^3 + \frac{155}{2}x^2 - 94x + 30\]

Bestimme alle rationalen Nullstellen des Polynoms $p(x)$.

Aufgabengenerator

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Der Aufgabengenerator ermöglicht es dir, beliebig viele, an deine individuellen Bedürfnisse angepasste Aufgaben zu generieren, um dich perfekt mit dem Thema vertraut zu machen.

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Konfiguration anpassen

Konfiguriere den Aufgabengenerator nach deinen Wünschen – von einfachen Beispielen bis zu anspruchsvollen Herausforderungen.

Lege den minimalen und den maximalen Grad des Polynoms (jeweils von 1 bis 6) sowie die minimale und die maximale Anzahl der Nullstellen (jeweils von 1 bis 6) fest und entscheide, welchen Typ die Nullstellen des Polynoms haben sollen: Zur Auswahl stehen ganze Zahlen $\Z$, rationale Zahlen $\Q$ und komplexe Zahlen $\C$.

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Hier könnte deine generierte Aufgabe stehen!
Eigene Aufgabe

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Löse deine eigenen Aufgaben oder lasse deiner Neugier freien Lauf – mit voller Unterstützung des Generators.

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Gib an, aus welchen Zahlenbereichen die Koeffizienten des Polynoms sowie die zu bestimmenden Lösungen stammen sollen.

Gib das Polynom ein, dessen Nullstellen berechnet werden sollen.

$p(x)=$
$ 0$

Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung: Beispielaufgabe 1 von 4

Zum Bestimmen der Nullstellen des Polynoms muss die folgende quadratische Gleichung gelöst werden.

\[x^2 - 5x + 6 = 0\]

Die quadratische Gleichung kann mithilfe der pq-Formel wie folgt gelöst werden:

  1. Zusammenfassen und Normieren der Gleichung.

    Die quadratische Gleichung liegt bereits in der normierten Form $ {x}^2 + p x + q = 0$ vor.

    \[\begin{align*}
    x^2 - 5x + 6 &= 0
    \end{align*}\]

    Es gilt $p=-5$ und $q=6$.

  2. Anwenden der pq-Formel.

    Die gesuchten Lösungen können mithilfe der pq-Formel direkt berechnet werden.

    \[\begin{align*}
    {x}_{1/2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} \\[0.5em]
    &= -\,\frac{-5}{2} \pm \sqrt{\frac{{\left(-5\right)}^2}{4} - 6} \\[0.5em]
    &= \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}}
    \end{align*}\]
  3. Ausrechnen der Lösung.

    Da der Wert unter der Wurzel – die Diskriminante – größer als Null ist, besitzt die quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen.

    \[\begin{align*}
    {x}_{1/2} &= \frac{5}{2} \pm \frac{1}{2} \\[1.5em]
    \implies {x}_1 &= 2 \\[0.5em]
    {x}_2 &= 3
    \end{align*}\]

    Es handelt sich bei beiden Lösungen ebenfalls um rationale Lösungen.

Musterlösung: Beispielaufgabe 2 von 4

Zunächst werden die bereits bekannten Nullstellen des Polynoms überprüft und die zugehörigen Linearfaktoren vom Polynom abgespalten:

  • Einsetzen des Werts $\xi = 1$ in das Polynom $p(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ ergibt $p\left(1\right) = 0$. Es handelt sich bei $\xi = 1$ somit um eine Nullstelle des Polynoms. Der zugehörige Linearfaktor $ x - 1$ kann vom Polynom abgespalten werden.

    Die Berechnung der Zerlegung mit Rest kann schrittweise mittels Polynomdivision durchgeführt werden.

    \begin{alignedat}{6}
    & & \llap{\bigl(} x^3 & \,-\, & 2x^2 & \,-\, & 5x & \,+\, & 6\rlap{\bigr)} & &\ \, : & \, \bigl(x - 1\bigr) = x^2 - x - 6\\[0.5em]
    & \phantom{-\bigl(}& \llap{-\bigl(} x^3 & \,-\, & x^2\rlap{\bigr)} & & & & & & & \\[0.5em]\hline
    & & & \,-\, & x^2 & \,-\, & 5x & \,+\, & 6 & & & \\[0.5em]
    & & & \llap{-\bigl(}\,-\, & x^2 & \,+\, & x\rlap{\bigr)} & & & & & \\[0.5em]\hline
    & & & & & \,-\, & 6x & \,+\, & 6 & & & \\[0.5em]
    & & & & & \llap{-\bigl(}\,-\, & 6x & \,+\, & 6\rlap{\bigr)} & & & \\[0.5em]\hline
    & & & & & & & & 0 & & & \\[0.5em]
    \end{alignedat}

    Die Division der beiden Polynome liefert die folgende Zerlegung mit Rest:

    \[\underbrace{x^3 - 2x^2 - 5x + 6}_{=\ a(x)} = \left(\underbrace{x^2 - x - 6}_{=\ q(x)}\right) \cdot \left(\underbrace{x - 1}_{=\ b(x)}\right)\]

    Da es sich bei $\xi = 1$ um eine Nullstelle des Polynoms handelt, ist die Division ohne Rest möglich. Weitere Nullstellen, sofern vorhanden, sind im Quotienten $q(x) = x^2 - x - 6$ enthalten.

Zum Bestimmen der verbleibenden Nullstellen des Polynoms muss die folgende quadratische Gleichung gelöst werden.

\[x^2 - x - 6 = 0\]

Die quadratische Gleichung kann mithilfe der pq-Formel wie folgt gelöst werden:

  1. Zusammenfassen und Normieren der Gleichung.

    Die quadratische Gleichung liegt bereits in der normierten Form $ {x}^2 + p x + q = 0$ vor.

    \[\begin{align*}
    x^2 - x - 6 &= 0
    \end{align*}\]

    Es gilt $p=-1$ und $q=-6$.

  2. Anwenden der pq-Formel.

    Die gesuchten Lösungen können mithilfe der pq-Formel direkt berechnet werden.

    \[\begin{align*}
    {x}_{1/2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} \\[0.5em]
    &= -\,\frac{-1}{2} \pm \sqrt{\frac{{\left(-1\right)}^2}{4} - \left(-6\right)} \\[0.5em]
    &= \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}}
    \end{align*}\]
  3. Ausrechnen der Lösung.

    Da der Wert unter der Wurzel – die Diskriminante – größer als Null ist, besitzt die quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen.

    \[\begin{align*}
    {x}_{1/2} &= \frac{1}{2} \pm \frac{5}{2} \\[1.5em]
    \implies {x}_1 &= -2 \\[0.5em]
    {x}_2 &= 3
    \end{align*}\]

    Es handelt sich bei beiden Lösungen ebenfalls um rationale Lösungen.

Zusammengefasst besitzt das Polynom somit die folgenden rationalen Nullstellen:

\[\begin{align*}
x_1 &= -2 \\[0.5em]
x_2 &= 1 \\[0.5em]
x_3 &= 3\end{align*}\]

Musterlösung: Beispielaufgabe 3 von 4

Zum Bestimmen der Nullstellen des Polynoms muss die folgende Gleichung gelöst werden.

\[x^3 - x^2 + x - 1 = 0\]

Die folgenden komplexen Nullstellen des Polynoms von Grad 3 wurden näherungsweise berechnet:

\[\begin{align*}
x_1 &= 1 \\[0.5em]
x_2 &= -\mathrm{i} \\[0.5em]
x_3 &= \mathrm{i}\end{align*}\]

Musterlösung: Beispielaufgabe 4 von 4

Zum Bestimmen der Nullstellen des Polynoms muss die folgende Gleichung gelöst werden.

\[x^5 - \frac{5}{2}x^4 - 18x^3 + \frac{155}{2}x^2 - 94x + 30 = 0\]

Die folgenden rationalen Nullstellen des Polynoms von Grad 5 wurden näherungsweise berechnet:

\[\begin{align*}
x_1 &= -5 \\[0.5em]
x_2 &= \frac{1}{2} \\[0.5em]
x_3 &= 2 \\[0.5em]
x_4 &= 2 \\[0.5em]
x_5 &= 3\end{align*}\]
Lösung überprüfen

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 1 von 4

Gib zunächst die Anzahl der gefundenen rationalen Nullstellen ein.

Gib alle gefundenen rationalen Nullstellen des Polynoms ein. Mehrfach vorkommende Nullstellen müssen mehrfach eingegeben werden.

\[x_1=\]
$ 0$
\[x_2=\]
$ 0$

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 2 von 4

Gib zunächst die Anzahl der gefundenen rationalen Nullstellen ein.

Gib alle gefundenen rationalen Nullstellen des Polynoms ein. Mehrfach vorkommende Nullstellen müssen mehrfach eingegeben werden.

\[x_1=\]
$ 0$
\[x_2=\]
$ 0$

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 3 von 4

Gib zunächst die Anzahl der gefundenen komplexen Nullstellen ein.

Gib alle gefundenen komplexen Nullstellen des Polynoms ein. Mehrfach vorkommende Nullstellen müssen mehrfach eingegeben werden.

\[x_1=\]
$ 0$
\[x_2=\]
$ 0$

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 4 von 4

Gib zunächst die Anzahl der gefundenen rationalen Nullstellen ein.

Gib alle gefundenen rationalen Nullstellen des Polynoms ein. Mehrfach vorkommende Nullstellen müssen mehrfach eingegeben werden.

\[x_1=\]
$ 0$
\[x_2=\]
$ 0$