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Aufgaben

Quadratische Gleichungen – Interaktiver Aufgabengenerator

Artikel zum Nachlesen: Quadratische Gleichung

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Quadratische Gleichungen erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren, prozedural generierten Übungsaufgaben. Er unterstützt dich dabei, die Aufgaben zu lösen, das Thema ausgiebig zu üben und zu verstehen. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Schritt-für-Schritt Musterlösung und bietet dir zudem die Möglichkeit, deine eigenen Lösungen direkt zu überprüfen. Alle Lösungen und Lösungswege werden deterministisch mithilfe der zugrundeliegenden mathematischen Verfahren berechnet. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte und eigene Aufgaben im vollen Umfang zur Verfügung.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Die ausgewählten Beispiele ermöglichen es dir, einige Generator-Konfigurationen und die verfügbare Unterstützung beim Lösen der Aufgaben unverbindlich und in aller Ruhe kennenzulernen.

Aufgabe 1 von 5

Bestimme die ganzzahligen Lösungen der nachfolgenden quadratischen Gleichung.

\[x^2 - 5x + 6 = 0\]

Aufgabe 2 von 5

Bestimme die ganzzahligen Lösungen der nachfolgenden quadratischen Gleichung.

\[2x^2 + 5x + 1 = 2x + 3\]

Aufgabe 3 von 5

Bestimme die rationalen Lösungen der nachfolgenden quadratischen Gleichung.

\[x^2 + 2x + \frac{5}{4} = 0\]

Aufgabe 4 von 5

Bestimme die komplexen Lösungen der nachfolgenden quadratischen Gleichung.

\[x^2 + 2x + \frac{5}{4} = 0\]

Aufgabe 5 von 5

Bestimme die komplexen Lösungen der nachfolgenden quadratischen Gleichung.

\[x^2 + \left(-\frac{1}{2} - \frac{4}{3}\mathrm{i}\right)x = \frac{1}{3} - \frac{1}{2}\mathrm{i}\]
Aufgabengenerator

Aufgabengenerator

Der Aufgabengenerator ermöglicht es dir, beliebig viele, an deine individuellen Bedürfnisse angepasste Aufgaben zu generieren, um dich perfekt mit dem Thema vertraut zu machen.

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Konfiguration anpassen

Konfiguriere den Aufgabengenerator nach deinen Wünschen – von einfachen Beispielen bis zu anspruchsvollen Herausforderungen.

Lege fest, welchen Typ die Lösungen der quadratischen Gleichung haben sollen: Zur Auswahl stehen ganze Zahlen $\Z$, rationale Zahlen $\Q$ und komplexe Zahlen $\C$.

Hier könnte deine generierte Aufgabe stehen!
Eigene Aufgabe

Eigene Aufgabe verwenden

Löse deine eigenen Aufgaben oder lasse deiner Neugier freien Lauf – mit voller Unterstützung des Generators.

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Gib an, aus welchen Zahlenbereichen die Koeffizienten der Gleichung sowie die zu bestimmenden Lösungen stammen sollen. Lege außerdem das zu verwendende Lösungsverfahren fest.

Gib die quadratische Gleichung ein, deren rationale Lösungen berechnet werden sollen.

Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung: Beispielaufgabe 1 von 5

Die quadratische Gleichung kann mithilfe der pq-Formel wie folgt gelöst werden:

  1. Zusammenfassen und Normieren der Gleichung.

    Die quadratische Gleichung liegt bereits in der normierten Form $ {x}^2 + p x + q = 0$ vor.

    \[\begin{align*}
    x^2 - 5x + 6 &= 0
    \end{align*}\]

    Es gilt $p=-5$ und $q=6$.

  2. Anwenden der pq-Formel.

    Die gesuchten Lösungen können mithilfe der pq-Formel direkt berechnet werden.

    \[\begin{align*}
    {x}_{1/2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} \\[0.5em]
    &= -\,\frac{-5}{2} \pm \sqrt{\frac{{\left(-5\right)}^2}{4} - 6} \\[0.5em]
    &= \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}}
    \end{align*}\]
  3. Ausrechnen der Lösung.

    Da der Wert unter der Wurzel – die Diskriminante – größer als Null ist, besitzt die quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen.

    \[\begin{align*}
    {x}_{1/2} &= \frac{5}{2} \pm \frac{1}{2} \\[1.5em]
    \implies {x}_1 &= 2 \\[0.5em]
    {x}_2 &= 3
    \end{align*}\]

    Es handelt sich bei beiden Lösungen ebenfalls um ganzzahlige Lösungen.

Musterlösung: Beispielaufgabe 2 von 5

Die quadratische Gleichung kann mithilfe der Mitternachtsformel wie folgt gelöst werden:

  1. Zusammenfassen der Gleichung.

    Zunächst wird die quadratische Gleichung zusammengefasst und in die Form $a{x}^2 + b x + c = 0$ überführt.

    \[2x^2 + 3x - 2 = 0\]

    Es gilt $a=2$, $b=3$ und $c=-2$.

  2. Anwenden der abc-Formel.

    Die gesuchten Lösungen können mithilfe der abc-Formel direkt berechnet werden.

    \[\begin{align*}
    {x}_{1/2} &= -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}} \\[0.5em]
    &= -\,\frac{3}{2 \cdot 2} \pm \sqrt{\frac{3^2}{4 \cdot 2^2} - \frac{-2}{2}} \\[0.5em]
    &= -\frac{3}{4} \pm \sqrt{\frac{25}{16}}
    \end{align*}\]
  3. Ausrechnen der Lösung.

    Da der Wert unter der Wurzel – die Diskriminante – größer als Null ist, besitzt die quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen.

    \[\begin{align*}
    {x}_{1/2} &= -\frac{3}{4} \pm \frac{5}{4} \\[1.5em]
    \implies {x}_1 &= -2 \\[0.5em]
    {x}_2 &= \frac{1}{2}
    \end{align*}\]

    Es handelt sich nur bei der ersten Lösung um eine ganzzahlige Lösung.

Musterlösung: Beispielaufgabe 3 von 5

Die quadratische Gleichung kann mithilfe der pq-Formel wie folgt gelöst werden:

  1. Zusammenfassen und Normieren der Gleichung.

    Die quadratische Gleichung liegt bereits in der normierten Form $ {x}^2 + p x + q = 0$ vor.

    \[\begin{align*}
    x^2 + 2x + \frac{5}{4} &= 0
    \end{align*}\]

    Es gilt $p=2$ und $q=\frac{5}{4}$.

  2. Anwenden der pq-Formel.

    Die gesuchten Lösungen können mithilfe der pq-Formel direkt berechnet werden.

    \[\begin{align*}
    {x}_{1/2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} \\[0.5em]
    &= -\,\frac{2}{2} \pm \sqrt{\frac{2^2}{4} - \frac{5}{4}} \\[0.5em]
    &= -1 \pm \sqrt{-\frac{1}{4}}
    \end{align*}\]
  3. Ausrechnen der Lösung.

    Da der Wert unter der Wurzel – die Diskriminante – kleiner als Null ist, besitzt die quadratische Gleichung keine reellen Lösungen – und somit auch keine rationalen Lösungen.

Musterlösung: Beispielaufgabe 4 von 5

Die quadratische Gleichung kann mithilfe der pq-Formel wie folgt gelöst werden:

  1. Zusammenfassen und Normieren der Gleichung.

    Die quadratische Gleichung liegt bereits in der normierten Form $ {x}^2 + p x + q = 0$ vor.

    \[\begin{align*}
    x^2 + 2x + \frac{5}{4} &= 0
    \end{align*}\]

    Es gilt $p=2$ und $q=\frac{5}{4}$.

  2. Anwenden der pq-Formel.

    Die gesuchten Lösungen können mithilfe der pq-Formel direkt berechnet werden.

    \[\begin{align*}
    {x}_{1/2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} \\[0.5em]
    &= -\,\frac{2}{2} \pm \sqrt{\frac{2^2}{4} - \frac{5}{4}} \\[0.5em]
    &= -1 \pm \sqrt{-\frac{1}{4}}
    \end{align*}\]
  3. Ausrechnen der Lösung.

    Da der Wert unter der Wurzel – die Diskriminante – kleiner als Null ist, besitzt die quadratische Gleichung zwei konjugiert komplexe Lösungen.

    \[\begin{align*}
    {x}_{1/2} &= -1 \pm \frac{1}{2}\mathrm{i} \\[1.5em]
    \implies {x}_1 &= -1 - \frac{1}{2}\mathrm{i} \\[0.5em]
    {x}_2 &= -1 + \frac{1}{2}\mathrm{i}
    \end{align*}\]

    Es handelt sich bei beiden Lösungen ebenfalls um komplexe Lösungen.

Musterlösung: Beispielaufgabe 5 von 5

Die quadratische Gleichung kann mithilfe der pq-Formel wie folgt gelöst werden:

  1. Zusammenfassen und Normieren der Gleichung.

    Zunächst wird die quadratische Gleichung zusammengefasst und in die normierte Form $ {x}^2 + p x + q = 0$ überführt.

    \[\begin{align*}
    x^2 + \left(-\frac{1}{2} - \frac{4}{3}\mathrm{i}\right)x - \frac{1}{3} + \frac{1}{2}\mathrm{i} &= 0
    \end{align*}\]

    Es gilt $p=-\frac{1}{2} - \frac{4}{3}\mathrm{i}$ und $q=-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\mathrm{i}$.

  2. Anwenden der pq-Formel.

    Die gesuchten Lösungen können mithilfe der pq-Formel direkt berechnet werden.

    \[\begin{align*}
    {x}_{1/2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} \\[0.5em]
    &= -\,\frac{-\frac{1}{2} - \frac{4}{3}\mathrm{i}}{2} \pm \sqrt{\frac{{\left(-\frac{1}{2} - \frac{4}{3}\mathrm{i}\right)}^2}{4} - \left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\mathrm{i}\right)} \\[0.5em]
    &= \frac{1}{4} + \frac{2}{3}\mathrm{i} \pm \sqrt{-\frac{7}{144} - \frac{1}{6}\mathrm{i}}
    \end{align*}\]
  3. Ausrechnen der Lösung.

    Da der Wert unter der Wurzel – die Diskriminante – ungleich Null ist, besitzt die quadratische Gleichung zwei komplexe Lösungen.

    \[\begin{align*}
    {x}_{1/2} &= \left(\frac{1}{4} + \frac{2}{3}\mathrm{i}\right) \pm \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{3}\mathrm{i}\right) \\[1.5em]
    \implies {x}_1 &= \mathrm{i} \\[0.5em]
    {x}_2 &= \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\mathrm{i}
    \end{align*}\]
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Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 1 von 5

Gib zunächst die Anzahl der ganzzahligen Lösungen ein.

Gib die gefundenen ganzzahligen Lösungen ein.

\[x_1=\]
$ 0$
\[x_2=\]
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Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 2 von 5

Gib zunächst die Anzahl der ganzzahligen Lösungen ein.

Gib die gefundenen ganzzahligen Lösungen ein.

\[x_1=\]
$ 0$
\[x_2=\]
$ 0$

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 3 von 5

Gib zunächst die Anzahl der rationalen Lösungen ein.

Gib die gefundenen rationalen Lösungen ein.

\[x_1=\]
$ 0$
\[x_2=\]
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Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 4 von 5

Gib zunächst die Anzahl der komplexen Lösungen ein.

Gib die gefundenen komplexen Lösungen ein.

\[x_1=\]
$ 0$
\[x_2=\]
$ 0$

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 5 von 5

Gib zunächst die Anzahl der komplexen Lösungen ein.

Gib die gefundenen komplexen Lösungen ein.

\[x_1=\]
$ 0$
\[x_2=\]
$ 0$