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Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion (abgekürzt: exp) ist eine der wichtigsten elementaren mathematischen Funktionen, die in vielen Bereichen der Mathematik, in den Naturwissenschaften und in der Technik von großer Bedeutung ist. Sie kann zum Beschreiben von Prozessen verwendet werden, bei denen sich Größen proportional zu ihrem aktuellen Wert verändern, wie z. B. Wachstums- oder Zerfallsprozesse. Sie ermöglicht es, komplexe, dynamische Systeme zu modellieren und vorherzusagen. Im Gegensatz zu Potenzfunktionen, bei denen die Basis eine Variable und der Exponent eine fest vorgegebene Konstante ist, besitzen Exponentialfunktionen eine fest vorgegebene, konstante Basis und einen variablen Exponenten. Die zur Exponentialfunktion zugehörige Umkehrfunktion ist die Logarithmusfunktion.

Definition

Die natürliche Exponentialfunktion (abgekürzt: exp) kann für reelle Zahlen $x \in \R$ formal über eine Potenzreihe, die sogenannte Exponentialreihe definiert werden:

\begin{align*} e^x &= \exp(x) \\[0.75em] &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{x^k}{k!}} \end{align*}

Anstelle von $\exp(x)$ wird häufig einfach $e^x$ geschrieben, wobei $e = \exp(1)$ die eulersche Zahl ist; bei $k!$ handelt es sich um die Fakultät.

Alternativ kann die Exponentialfunktion über den Grenzwert einer Folge definiert werden (mit $n \in \N$):

\begin{align*} e^x &= \exp(x) \\[0.75em] &= \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{{\left( 1 + \frac{x}{n} \right)}^n} \end{align*}

Die Exponentialfunktion zu einer beliebigen reellen Basis $a$ mit $a \gt 0$ und $a \neq 1$ wird mithilfe des natürlichen Logarithmus über die natürliche Exponentialfunktion definiert:

a^x = e^{x \cdot \ln(a)}

Hinweis: Für $a=1$ gilt diese Formel ebenfalls, vereinfacht sich dann aber zur konstanten Funktion $1^x=1$, die streng genommen keine Exponentialfunktion ist, da sie nicht deren typische Eigenschaften besitzt.

Funktionsgraph

Die Exponentialfunktion besitzt für Basen $a \gt 1$ exemplarisch die folgenden Funktionsgraphen:

Die Exponentialfunktion besitzt für Basen $0 \lt a \lt 1$ exemplarisch die folgenden Funktionsgraphen:

Funktionsgraphen der Exponentialfunktionen (1/e)^x, (1/2)^x, (1/3)^x, (1/4)^x und (1/5)^x — Funktionsgraphen der Exponentialfunktionen $ {\left( \frac{1}{e} \right)}^x$, $ {\left( \frac{1}{2} \right)}^x$, $ {\left( \frac{1}{3} \right)}^x$, $ {\left( \frac{1}{4} \right)}^x$ und $ {\left( \frac{1}{5} \right)}^x$

Eigenschaften

Die Exponentialfunktion besitzt die folgenden Eigenschaften:

	Basis $\mathbf{a \gt 1}$	Basis $\mathbf{0 \lt a \lt 1}$
Definitionsbereich	$-\infty \lt x \lt \infty$	$-\infty \lt x \lt \infty$
Wertebereich	$0 \lt a^x \lt \infty$	$0 \lt a^x \lt \infty$
Periodizität	keine	keine
Monotonie	streng monoton steigend	streng monoton fallend
Krümmung	streng konvex	streng konvex
Symmetrien	keine	keine
Asymptoten	$x$-Achse als waagerechte Asymptote für $x \rightarrow -\infty$	$x$-Achse als waagerechte Asymptote für $x \rightarrow \infty$
Nullstellen	keine	keine
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	keine	keine
Extremstellen	keine	keine
Wendepunkte	keine	keine

Ableitung

Hauptartikel: Exponentialfunktion (Ableitungsregel)

Die Ableitung der Exponentialfunktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ e^x \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ e^x \Bigr] \\[0.75em] &= e^x \end{align*}

Die Ableitung der Exponentialfunktion mit beliebiger Basis $a \in \R$ mit $a \gt 0$ und $a \neq 1$ ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ a^x \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ a^x \Bigr] \\[0.75em] &= a^x \cdot \ln(a) \end{align*}

Stammfunktion

Hauptartikel: Exponentialfunktion (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Exponentialfunktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ wie folgt definiert:

\int{e^x\ dx} = e^x + \mathcal{C}

Die Stammfunktion der Exponentialfunktion mit beliebiger Basis $a \in \R$ mit $a \gt 0$ und $a \neq 1$ ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ wie folgt definiert:

\int{a^x\ dx} = \frac{1}{\ln(a)} \cdot a^x + \mathcal{C}

Für Potenzen der Exponentialfunktion mit reellen Exponenten $n \neq 0$ existieren darüber hinaus die folgenden Integrationsregeln:

\begin{align*} \int{{\left( e^x \right)}^n\ dx} &= \frac{1}{n} \cdot {\left( e^x \right)}^n + \mathcal{C} \\[0.75em] \int{{\left( a^x \right)}^n\ dx} &= \frac{1}{n \cdot \ln(a)} \cdot {\left( a^x \right)}^n + \mathcal{C} \end{align*}

Hinweis: Bei $\mathcal{C}$ handelt es sich wie üblich um die Integrationskonstante.

Reihenentwicklung

Hauptartikel: Exponentialfunktion (Reihenentwicklung)

Die Exponentialfunktion besitzt die folgende Reihenentwicklung:

\begin{align*} e^x &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!} \cdot x^k} \\[0.75em] &= 1 + x + \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{4!} x^4 + \ldots \end{align*}