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Aufgaben

Modulares Potenzieren – Interaktiver Aufgabengenerator

Artikel zum Nachlesen: Modulares Potenzieren

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Modulares Potenzieren (Potenzieren modulo m) erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren, prozedural generierten Übungsaufgaben. Er unterstützt dich dabei, die Aufgaben zu lösen, das Thema ausgiebig zu üben und zu verstehen. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Schritt-für-Schritt Musterlösung und bietet dir zudem die Möglichkeit, deine eigenen Lösungen direkt zu überprüfen. Alle Lösungen und Lösungswege werden deterministisch mithilfe der zugrundeliegenden mathematischen Verfahren berechnet. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte und eigene Aufgaben im vollen Umfang zur Verfügung.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Die ausgewählten Beispiele ermöglichen es dir, einige Generator-Konfigurationen und die verfügbare Unterstützung beim Lösen der Aufgaben unverbindlich und in aller Ruhe kennenzulernen.

Aufgabe 1 von 2

Berechne mithilfe von modularem Potenzieren den kleinsten, nicht negativen Wert $x$, für den die folgende Kongruenz gilt:

\[{5}^{25} \equiv x \pmod{13}\]

Aufgabe 2 von 2

Berechne mithilfe von modularem Potenzieren den kleinsten, nicht negativen Wert $x$, für den die folgende Kongruenz gilt:

\[{3}^{47147} \equiv x \pmod{47}\]
Aufgabengenerator

Aufgabengenerator

Der Aufgabengenerator ermöglicht es dir, beliebig viele, an deine individuellen Bedürfnisse angepasste Aufgaben zu generieren, um dich perfekt mit dem Thema vertraut zu machen.

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Konfiguration anpassen

Konfiguriere den Aufgabengenerator nach deinen Wünschen – von einfachen Beispielen bis zu anspruchsvollen Herausforderungen.

Lege die minimale und die maximale Anzahl der Rechenschritte für das Potenzieren (jeweils von 2 bis 50) und den minimalen und den maximalen Modul (jeweils von 2 bis 1000) fest.

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Hier könnte deine generierte Aufgabe stehen!
Eigene Aufgabe

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Löse deine eigenen Aufgaben oder lasse deiner Neugier freien Lauf – mit voller Unterstützung des Generators.

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Gib die Zahlen $a$, $n$ und $m$ ein, für die mithilfe von modularem Potenzieren die Potenz $a^n \pmod{m}$ berechnet werden soll.

Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung: Beispielaufgabe 1 von 2

Die Potenz $ {5}^{25} \bmod{13}$ kann mithilfe des Square and Multiply Verfahrens über die folgenden Zwischenschritte berechnet werden:

\[\begin{alignedat}{3}
{5}^{25} &\equiv {5}^{24} \cdot {5}&& \pmod{13} \\[0.5em]
{5}^{24} &\equiv {\left({5}^{12} \right)}^2&& \pmod{13} \\[0.5em]
{5}^{12} &\equiv {\left({5}^{6} \right)}^2&& \pmod{13} \\[0.5em]
{5}^{6} &\equiv {\left({5}^{3} \right)}^2&& \pmod{13} \\[0.5em]
{5}^{3} &\equiv {5}^{2} \cdot {5}&& \pmod{13} \\[0.5em]
{5}^{2} &\equiv {\left({5}^{1} \right)}^2&& \pmod{13}
\end{alignedat}\]

Durch Rückwärtseinsetzen kann die gesuchte Potenz nun schrittweise berechnet werden. Nach den Rechenregeln für das Potenzieren modulo m und das Multiplizieren modulo m werden nach jedem Zwischenschritt die Reste bestimmt und mit diesen weiter gerechnet, um die Zwischenergebnisse möglichst klein zu halten.

\[\begin{alignedat}{3}
{5}^{2} &\equiv 25 \equiv 12 && \pmod{13} \\[0.5em]
{5}^{3} &\equiv 12 \cdot {5}\equiv 60 \equiv 8 && \pmod{13} \\[0.5em]
{5}^{6} &\equiv {8}^2\equiv 64 \equiv 12 && \pmod{13} \\[0.5em]
{5}^{12} &\equiv {12}^2\equiv 144 \equiv 1 && \pmod{13} \\[0.5em]
{5}^{24} &\equiv {1}^2\equiv 1 && \pmod{13} \\[0.5em]
{5}^{25} &\equiv 1 \cdot {5}\equiv 5 && \pmod{13}
\end{alignedat}\]

Das gesuchte Ergebnis lautet also wie folgt:

\[{5}^{25} \equiv 5\pmod{13}\]

Musterlösung: Beispielaufgabe 2 von 2

Die Potenz $ {3}^{47147} \bmod{47}$ kann mithilfe des Square and Multiply Verfahrens über die folgenden Zwischenschritte berechnet werden:

\[\begin{alignedat}{3}
{3}^{47147} &\equiv {3}^{47146} \cdot {3}&& \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{47146} &\equiv {\left({3}^{23573} \right)}^2&& \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{23573} &\equiv {3}^{23572} \cdot {3}&& \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{23572} &\equiv {\left({3}^{11786} \right)}^2&& \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{11786} &\equiv {\left({3}^{5893} \right)}^2&& \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{5893} &\equiv {3}^{5892} \cdot {3}&& \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{5892} &\equiv {\left({3}^{2946} \right)}^2&& \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{2946} &\equiv {\left({3}^{1473} \right)}^2&& \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{1473} &\equiv {3}^{1472} \cdot {3}&& \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{1472} &\equiv {\left({3}^{736} \right)}^2&& \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{736} &\equiv {\left({3}^{368} \right)}^2&& \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{368} &\equiv {\left({3}^{184} \right)}^2&& \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{184} &\equiv {\left({3}^{92} \right)}^2&& \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{92} &\equiv {\left({3}^{46} \right)}^2&& \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{46} &\equiv {\left({3}^{23} \right)}^2&& \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{23} &\equiv {3}^{22} \cdot {3}&& \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{22} &\equiv {\left({3}^{11} \right)}^2&& \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{11} &\equiv {3}^{10} \cdot {3}&& \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{10} &\equiv {\left({3}^{5} \right)}^2&& \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{5} &\equiv {3}^{4} \cdot {3}&& \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{4} &\equiv {\left({3}^{2} \right)}^2&& \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{2} &\equiv {\left({3}^{1} \right)}^2&& \pmod{47}
\end{alignedat}\]

Durch Rückwärtseinsetzen kann die gesuchte Potenz nun schrittweise berechnet werden. Nach den Rechenregeln für das Potenzieren modulo m und das Multiplizieren modulo m werden nach jedem Zwischenschritt die Reste bestimmt und mit diesen weiter gerechnet, um die Zwischenergebnisse möglichst klein zu halten.

\[\begin{alignedat}{3}
{3}^{2} &\equiv 9 && \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{4} &\equiv {9}^2\equiv 81 \equiv 34 && \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{5} &\equiv 34 \cdot {3}\equiv 102 \equiv 8 && \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{10} &\equiv {8}^2\equiv 64 \equiv 17 && \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{11} &\equiv 17 \cdot {3}\equiv 51 \equiv 4 && \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{22} &\equiv {4}^2\equiv 16 && \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{23} &\equiv 16 \cdot {3}\equiv 48 \equiv 1 && \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{46} &\equiv {1}^2\equiv 1 && \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{92} &\equiv {1}^2\equiv 1 && \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{184} &\equiv {1}^2\equiv 1 && \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{368} &\equiv {1}^2\equiv 1 && \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{736} &\equiv {1}^2\equiv 1 && \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{1472} &\equiv {1}^2\equiv 1 && \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{1473} &\equiv 1 \cdot {3}\equiv 3 && \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{2946} &\equiv {3}^2\equiv 9 && \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{5892} &\equiv {9}^2\equiv 81 \equiv 34 && \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{5893} &\equiv 34 \cdot {3}\equiv 102 \equiv 8 && \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{11786} &\equiv {8}^2\equiv 64 \equiv 17 && \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{23572} &\equiv {17}^2\equiv 289 \equiv 7 && \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{23573} &\equiv 7 \cdot {3}\equiv 21 && \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{47146} &\equiv {21}^2\equiv 441 \equiv 18 && \pmod{47} \\[0.5em]
{3}^{47147} &\equiv 18 \cdot {3}\equiv 54 \equiv 7 && \pmod{47}
\end{alignedat}\]

Das gesuchte Ergebnis lautet also wie folgt:

\[{3}^{47147} \equiv 7\pmod{47}\]
Lösung überprüfen

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 1 von 2

Gib die berechnete Potenz ein.

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 2 von 2

Gib die berechnete Potenz ein.