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Potenz

Bei einer Potenz handelt es sich um das Ergebnis des Potenzierens, das in seiner einfachsten Form eine Kurzschreibweise für das wiederholte Multiplizieren eines Werts mit sich selbst beschreibt. Das Potenzieren kann auf Potenzen mit ganzen, rationalen und reellen Exponenten erweitert werden kann.

Definition

Potenzen mit natürlichen Exponenten

Gegeben seien eine reelle Zahl $a \in \R$ und eine natürliche Zahl $n \in \N$. Bei der $\mathbf{n}$-ten Potenz von $\mathbf{a}$ handelt es sich um eine Kurzschreibweise für das Produkt, das insgesamt $n$ mal den Faktor $a$ enthält; es gilt:

a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ Faktoren}}.

Der Wert $a$ wird als Basis bezeichnet; der Wert $n$ wird Exponent genannt.

Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Gegeben seien eine reelle Zahl $a \in \R$ und eine ganze Zahl $n \in \Z$. Um die Definition der Potenz auf ganzzahlige Exponenten zu übertragen, muss die Potenz zusätzlich zu den bereits definierten positiven ganzzahligen (natürlichen) Exponenten außerdem für den Fall $n \lt 0$ sowie für den Spezialfall $a \neq 0$ und $n=0$ definiert werden. Es gilt:

\begin{align*} a^{-n} &= \frac{1}{a^n} \\[0.5em] a^0 &= 1. \end{align*}

Wichtig: Für den Spezialfall $a=0$ und $n=0$ ist die Potenz nicht definiert.

Potenzen mit rationalen Exponenten

Gegeben seien eine reelle Zahl $a \in \R$ und eine rationale Zahl $r \in \Q$ mit $r = \frac{m}{n}$ (für $m,n \in \Z$). Mit $\sqrt[n]{a}$ sei die $n$-te Wurzel von $a$ bezeichnet. Existiert $\sqrt[n]{a}$, so wird die $r$-te Potenz von $a$ wie folgt definiert:

a^r = a^{\frac{m}{n}} = {\left( \sqrt[n]{a} \right)}^m.

Potenzen mit reellen Exponenten

Gegeben seien eine reelle Zahl $a \in \R$, eine reelle Zahl $x \in \R$ sowie eine Folge $ {(x_n)}_{n \in \N}$ rationaler Zahlen, die gegen $x$ konvergiert, d. h. es gelte $\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}{x_n} = x$. Es handelt sich bei der reellen Potenz um den Grenzwert der Folge der rationalen Potenzen $a^{x_n}$, d. h., es gilt:

\begin{align*} a^x &= a^{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x_n}} \\[0.5em] &= \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a^{x_n}}. \end{align*}

Beispiele

Es gelten exemplarisch die folgenden Beispiele für Potenzen:

$\displaystyle 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
$\displaystyle 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{9}$
$\displaystyle 5^{\frac{3}{2}} = \sqrt{5^3} = \sqrt{125}$

Rechenregeln

Für das Rechnen mit Potenzen gelten die folgenden Rechenregeln:

	Potenzgesetz	Anwendbarkeit
Potenz I-a	$x^m \cdot x^n = x^{m+n}$	Anwendbarkeit: für $x \gt 0$ und beliebige natürliche, ganze, rationale und reelle Exponenten $m$ und $n$ für $x = 0$ und beliebige natürliche, ganze und rationale Exponenten $m$ und $n$, falls zusätzlich $m \geq 0$ und $n \geq 0$ gilt für $x \lt 0$ und beliebige natürliche und ganzzahlige Exponenten sowie für rationale Exponenten mit ungeraden Nennern
Potenz I-b	$\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$	Anwendbarkeit: für $x \gt 0$ und beliebige natürliche, ganze, rationale und reelle Exponenten $m$ und $n$ für $x \lt 0$ und beliebige natürliche und ganzzahlige Exponenten sowie für rationale Exponenten mit ungeraden Nennern für $x = 0$ und natürliche, ganze und rationale Exponenten $m$ und $n$, falls zusätzlich $m \geq 0$ und $n = 0$ gilt; letzteres ist notwendig, da ansonsten eine Division durch Null entsteht. Aufgrund der Definition $0^0=1$ ist das Ergebnis dann nur $x^m$, was formal $x^{m-0}$ entspricht, sodass das Potenzgesetz auch in diesem Fall Bestand hat
Potenz II-a	${\bigl( x \cdot y \bigr)}^n = x^n \cdot y^n$	Anwendbarkeit: für $x \gt 0$ und $y \gt 0$ und beliebige natürliche, ganze, rationale und reelle Exponenten $n$ für $x \geq 0$ und $y \geq 0$ und beliebige natürliche, ganze und rationale Exponenten $n$ mit $n \geq 0$ für $x \lt 0$ und/oder $y \lt 0$ und beliebige natürliche und ganzzahlige Exponenten sowie für rationale Exponenten mit ungeraden Nennern; gilt zusätzlich $x=0$ oder $y=0$, so muss zudem $n \geq 0$ gelten
Potenz II-b	${\left( \frac{x}{y} \right)}^n = \frac{x^n}{y^n}$	Anwendbarkeit: für $x \gt 0$ und $y \gt 0$ und beliebige natürliche, ganze, rationale und reelle Exponenten $n$ für $x = 0$ und $y \gt 0$ und beliebige natürliche, ganze und rationale Exponenten $n$ mit $n \geq 0$ für $x \lt 0$ und/oder $y \lt 0$ und beliebige natürliche und ganzzahlige Exponenten sowie für rationale Exponenten mit ungeraden Nennern; gilt zusätzlich $x=0$, so muss zudem $n \geq 0$ gelten
Potenz III	${\bigl( x^m \bigr)}^n = x^{m \cdot n}$	Anwendbarkeit: für $x \gt 0$ und beliebige natürliche, ganze, rationale und reelle Exponenten $m$ und $n$ für $x = 0$ und beliebige natürliche, ganze und rationale Exponenten $m$ und $n$, falls zusätzlich $m \geq 0$ und $n \geq 0$ gilt für $x \lt 0$ und beliebige natürliche und ganzzahlige Exponenten sowie für rationale Exponenten mit ungeraden Nennern