Potenz einer Potenz (Potenzgesetz III)

Potenz einer Potenz

Für eine reelle Basis $x \in \R$ und zwei reelle Exponenten $m,n \in \R$ kann die Potenz einer Potenz berechnet werden, indem die beiden Exponenten $m$ und $n$ multipliziert werden und die Basis $x$ anschließend mit dem Produkt der Exponenten potenziert wird. Es gilt:

In Worten: Beim Potenzieren einer Potenz wird die Basis beibehalten und die Exponenten werden multipliziert.

Die Potenzregel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

• für $x \gt 0$ und beliebige natürliche, ganze, rationale und reelle Exponenten $m$ und $n$;
• für $x = 0$ und beliebige natürliche, ganze und rationale Exponenten $m$ und $n$, falls zusätzlich $m \geq 0$ und $n \geq 0$ gilt;
• für $x \lt 0$ und beliebige natürliche und ganzzahlige Exponenten sowie für rationale Exponenten mit ungeraden Nennern.

Mehrfach verschachtelte Potenzen

Allgemein gilt: Die Potenz einer Potenz kann auf mehr als zwei Exponenten übertragen werden, indem die Basis beibehalten wird und alle Exponenten miteinander multipliziert werden. Es gilt:

Die Potenzregel kann in den folgenden Fällen angewendet werden (für $k \in \N$ und $k \geq 2$):

• für $x \gt 0$ und beliebige natürliche, ganze, rationale und reelle Exponenten $n_1,\ldots,n_k$;
• für $x = 0$ und beliebige natürliche, ganze und rationale Exponenten $n_1,\ldots,n_k$, falls zusätzlich $n_i \geq 0$ (für $1 \leq i \leq k$) gilt;
• für $x \lt 0$ und beliebige natürliche und ganzzahlige Exponenten sowie für rationale Exponenten mit ungeraden Nennern.

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird exemplarisch die Potenz einer Potenz mit natürlichen Exponenten berechnet.

Beispiel 2

Das zweite Beispiel zeigt die Berechnung einer mehrfachen Potenz mit rationalen Exponenten und natürlicher Basis.

Beispiel 3

Beim dritten Beispiel handelt es sich um eine Warnung, um zu verdeutlichen, weshalb das Beachten der Gültigkeitsbereiche des Potenzgesetzes essentiell ist: Werden diese missachtet, können leicht inhaltlich und mathematisch falsche Aussagen entstehen. Dies ist besonders kritisch, wenn sich die Vorzeichen hinter Variablen verstecken und nicht – wie im Beispiel – explizit sichtbar sind.

Die vorausgehende Rechnung ist falsch. Die linke Seite des Ausdrucks ist berechenbar und liefert das Ergebnis $2$. Unzulässige Anwendung von Potenzgesetz III liefert auf der rechten Seite den Ausdruck $ {(-4)}^{\frac{1}{2}}$, der im Reellen nicht definiert ist – und der somit nicht dem Ausgangsterm entspricht. Im Bereich der komplexen Zahlen wäre der rechte Term zwar berechenbar, das Ergebnis $2\mathrm{i}$ würde dennoch nicht mit der linken Seite übereinstimmen.

Beweis des Potenzgesetzes für natürliche Exponenten

Gegeben seien zwei natürliche Zahlen $m,n \in \N_0$ sowie eine reelle Zahl $x \in \R$. In diesem Fall handelt es sich bei den Potenzen $x^m$ und $ {(x^m)}^n$ lediglich um Kurzschreibweisen für die Produkte, die genau $m$ bzw. $n$ mal den Faktor $x$ bzw. $x^m$ besitzen. Falls $m=0$ oder $n=0$ gilt, handelt es sich bei $x^m$ bzw. $ {(x^m)}^n$ um das leere Produkt, das aus null Faktoren besteht und den Wert 1 besitzt. Die Potenz der Potenz kann dann wie folgt zusammengefasst werden:

Hinweis: Bei dieser Umformung ändert sich genau genommen die Klammerung des Ausdrucks, weil nicht mehr zunächst die Potenzen $x^m$ berechnet werden und anschließend ihr Produkt bestimmt wird. Aufgrund der Assoziativität der Multiplikation ist jedoch garantiert, dass das Ergebnis hierdurch nicht verändert wird.

Beweis des Potenzgesetzes für ganzzahlige Exponenten

Für die Erweiterung des Potenzgesetzes auf ganzzahlige Exponenten müssen zusätzlich die Fälle betrachtet werden, in denen negative ganzzahlige Exponenten auftreten.

• Fall 1: $m \geq 0$ und $n \geq 0$
  

  Dieser Fall entspricht der Potenz einer Potenz mit natürlichen Exponenten.

• Fall 2: $m \geq 0$ und $n \lt 0$
  

  Gegeben seien zwei ganze Zahlen $m,n \in \Z$ mit $m \geq 0$ und $n \lt 0$ sowie eine reelle Zahl $x \in \R$ mit $x \neq 0$. Für negative ganze Zahlen $n \lt 0$ gilt $|n| = -n$ bzw. $n = -|n|$, wobei es sich bei $|n|$ um den Betrag von $n$ handelt. Für die Potenz der Potenz gilt dann:

  \begin{align*} {\bigl( x^m \bigr)}^n &\overset{(1)}{=} {\bigl( x^m \bigr)}^{-|n|} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \frac{1}{{\bigl( x^m \bigr)}^{|n|}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \frac{1}{x^{m \cdot |n|}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} x^{-m \cdot |n|} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} x^{m \cdot n} \end{align*}

  Erklärungen zu den Schritten
  (1)	Ersetzen der negativen Zahl $n$ durch ihren negierten Betrag $-|n|$
  (2)	Umschreiben von $ {(x^m)}^{-|n|}$ mithilfe der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten
  (3)	Anwenden von Potenzgesetz III für natürliche bzw. nichtnegative ganzzahlige Exponenten (Fall 1)
  (4)	Umschreiben von $\frac{1}{x^{m \cdot |n|}}$ mithilfe der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten
  (5)	Ersetzen des negierten Betrags $-|n|$ durch die (negative) Zahl $n$

• Fall 3: $m \lt 0$ und $n \geq 0$
  

  Gegeben seien zwei ganze Zahlen $m,n \in \Z$ mit $m \lt 0$ und $n \geq 0$ sowie eine reelle Zahl $x \in \R$ mit $x \neq 0$. Für negative ganze Zahlen $m \lt 0$ gilt $|m| = -m$ bzw. $m = -|m|$, wobei es sich bei $|m|$ um den Betrag von $m$ handelt. Für die Potenz der Potenz gilt dann:

  \begin{align*} {\bigl( x^m \bigr)}^n &\overset{(1)}{=} {\bigl( x^{-|m|} \bigr)}^n \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} {\left( \frac{1}{x^{|m|}} \right)}^n \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \frac{1^n}{{\bigl( x^{|m|} \bigr)}^n} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \frac{1}{x^{|m| \cdot n}} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} x^{-|m| \cdot n} \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} x^{m \cdot n} \end{align*}

  Erklärungen zu den Schritten
  (1)	Ersetzen der negativen Zahl $m$ durch ihren negierten Betrag $-|m|$
  (2)	Umschreiben von $x^{-|m|}$ mithilfe der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten
  (3)	Anwenden von Potenzgesetz II-b für ganzzahlige Exponenten
  (4)	Ausrechnen von $1^n = 1$ Anwenden von Potenzgesetz III für natürliche bzw. nichtnegative ganzzahlige Exponenten (Fall 1)
  (5)	Umschreiben von $\frac{1}{x^{|m| \cdot n}}$ mithilfe der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten
  (6)	Ersetzen des negierten Betrags $-|m|$ durch die (negative) Zahl $m$

• Fall 4: $m \lt 0$ und $n \lt 0$
  

  Gegeben seien zwei ganze Zahlen $m,n \in \Z$ mit $m \lt 0$ und $n \lt 0$ sowie eine reelle Zahl $x \in \R$ mit $x \neq 0$. Für negative ganze Zahlen $m \lt 0$ und $n \lt 0$ gilt $|m| = -m$ bzw. $m = -|m|$ sowie $|n| = -n$ bzw. $n = -|n|$, wobei es sich bei $|m|$ und $|n|$ um die Beträge von $m$ und $n$ handelt. Für die Potenz der Potenz gilt somit:

  \begin{align*} {\bigl( x^m \bigr)}^n &\overset{(1)}{=} {\bigl( x^{-|m|} \bigr)}^{-|n|} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \frac{1}{{\left( \frac{1}{x^{|m|}} \right)}^{|n|} } \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \frac{1}{\frac{1^{|n|}}{{\bigl( x^{|m|} \bigr)}^{|n|}}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \frac{{\bigl( x^{|m|} \bigr)}^{|n|}}{1^{|n|}} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} x^{|m| \cdot |n|} \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} x^{(-m) \cdot (-n)} \\[0.5em] &\overset{(7)}{=} x^{m \cdot n} \end{align*}

  Erklärungen zu den Schritten
  (1)	Ersetzen der negativen Zahl $m$ durch ihren negierten Betrag $-|m|$ Ersetzen der negativen Zahl $n$ durch ihren negierten Betrag $-|n|$
  (2)	Umschreiben von $ {\bigl(x^{-|m|}\bigr)}^{-|n|}$ mithilfe der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten Umschreiben von $x^{-|m|}$ mithilfe der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten
  (3)	Anwenden von Potenzgesetz II-b für ganzzahlige Exponenten
  (4)	Auflösen des Doppelbruchs
  (5)	Anwenden von Potenzgesetz III für natürliche bzw. nichtnegative ganzzahlige Exponenten (Fall 1) Ausrechnen von $1^{|n|} = 1$
  (6)	Ersetzen des Betrags $|m|$ durch die negierte Zahl $-m$ Ersetzen des Betrags $|n|$ durch die negierte Zahl $-n$
  (7)	Vereinfachen des Exponenten

Beweis des Potenzgesetzes für rationale Exponenten

Das Potenzgesetz für das Potenzieren von Potenzen kann für rationale Exponenten durch Nachrechnen direkt hergeleitet bzw. bewiesen werden. Gegeben seien ganze Zahlen $m,n,r,s \in \Z$ mit $r > 0$ und $s > 0$ sowie eine reelle Zahl $x \in \R$. Für $x \gt 0$ gelten keine weiteren Einschränkungen, für $x = 0$ gelte zudem $m \geq 0$ sowie $n \geq 0$ und für $x \lt 0$ gelte zusätzlich, dass $r$ und $s$ beide ungerade sind. Dann gilt:

Beweis des Potenzgesetzes für reelle Exponenten

Die Gültigkeit des Potenzgesetzes kann für reelle Exponenten durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien zwei reelle Zahlen $m,n \in \R$, zwei Folgen $ {(m_\ell)}_{\ell \in \N}$ und $ {(n_k)}_{k \in \N}$ rationaler Zahlen mit den Grenzwerten $\lim\limits_{\ell \rightarrow \infty}{m_\ell}=m$ und $\lim\limits_{k \rightarrow \infty}{n_k}=n$, die also gegen $m$ bzw. $n$ konvergieren, sowie eine reelle Zahl $x \in \R$ mit $x \gt 0$. Dann gilt:

Beweis des Potenzgesetzes (allgemein)

Der Beweis für das allgemeine Potenzgesetz für Potenzen mit mehreren Exponenten kann mithilfe einer vollständigen Induktion erbracht werden. Hierzu wird der bereits in den vorausgehenden Abschnitten durch Nachrechnen erbrachte Beweis verwendet, dass das Rechengesetz für Potenzen von Potenzen gilt. Anschließend wird gezeigt, dass unter der Annahme, die Formel sei für $k$ Exponenten gültig, auch die Gültigkeit für Potenzen mit $k+1$ Exponenten folgt.

(I) Induktionsanfang
Die Aussage ist für $k=2$ gültig, wie bereits in den vorherigen Abschnitten gezeigt wurde.

(II) Induktionsschritt
Induktionsannahme: Das Potenzgesetz gilt für ein fest gewähltes $k \in \N$ mit $k \geq 2$.

Für eine Potenz mit $k+1$ Exponenten gilt dann:

Insgesamt folgt, dass das Potenzgesetz für Potenzen mit $k+1$ Exponenten gilt, falls es für Potenzen mit $k$ Exponenten gilt. Zusammen mit dem Induktionsanfang folgt nach dem Induktionsprinzip somit die Gültigkeit des Potenzgesetzes für alle Potenzen mit $k \geq 2$ Exponenten.