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Sekans hyperbolicus (Funktion)

Die Sekans-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: sech), manchmal auch Hyperbelsekans genannt, gehört zu den hyperbolischen Funktionen. Sie ist eine elementare mathematische Funktion und wird beispielsweise in der hyperbolischen Geometrie, in der Physik und in verschiedenen Ingenieurswissenschaften verwendet. Die zugehörige Umkehrfunktion ist die Areasekans-hyperbolicus-Funktion.

Definition

Die Sekans-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: sech) gehört zu den hyperbolischen Funktionen. Es handelt sich um den Kehrwert der Kosinus-hyperbolicus-Funktion:

\sech(x) = \frac{1}{\cosh(x)}

Für die Sekans-hyperbolicus-Funktion ergibt sich für alle reellen Zahlen $x \in \R$ somit die folgende Darstellung mithilfe der Exponentialfunktion:

\sech(x) = \frac{2}{e^x + e^{-x}}

Funktionsgraph

Die Sekans-hyperbolicus-Funktion besitzt den folgenden Funktionsgraphen:

Eigenschaften

Die Sekans-hyperbolicus-Funktion besitzt die folgenden Eigenschaften:

Definitionsbereich	$-\infty \lt x \lt \infty$
Wertebereich	$0 \lt \sech(x) \leq 1$
Periodizität	keine
Monotonie	streng monoton steigend für $x \leq 0$ streng monoton fallend für $x \geq 0$
Krümmung	streng konvex für $-\infty \lt x \leq -\ln\left( 1 + \sqrt{2} \right)$ streng konkav für $-\ln\left( 1 + \sqrt{2} \right) \leq x \leq \ln\left( 1 + \sqrt{2} \right)$ streng konvex für $\ln\left( 1 + \sqrt{2} \right) \leq x \lt \infty$
Symmetrien	achsensymmetrisch zur $y$-Achse gerade Funktion
Asymptoten	$\sech(x) \rightarrow 0$ für $x \rightarrow \pm\infty$
Nullstellen	keine
Sprungstellen	keine
Polstellen	keine
Extremstellen	Maximum bei $x_0=0$
Wendepunkte	$x_{1/2} = \pm\ln\left( 1 + \sqrt{2} \right)$

Ableitung

Hauptartikel: Sekans hyperbolicus (Ableitungsregel)

Die Ableitung der Sekans-hyperbolicus-Funktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \sech(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \sech(x) \Bigr] \\[0.75em] &= -\frac{\sinh(x)}{\cosh^2(x)} \\[0.75em] &= -\frac{\sech^2(x)}{\csch(x)} \\[0.75em] &= -\frac{\tanh(x)}{\cosh(x)} \\[0.75em] &= -\sech(x) \cdot \tanh(x) \end{align*}

Stammfunktion

Hauptartikel: Sekans hyperbolicus (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Sekans-hyperbolicus-Funktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ wie folgt definiert:

\begin{align*} \int{\sech(x)\ dx} &= \arctan\bigl(\sinh(x)\bigr) + \mathcal{C} \\[0.75em] &= 2\arctan\bigl(e^x\bigr) + \mathcal{C} \end{align*}

Für Potenzen der Sekans-hyperbolicus-Funktion mit ganzzahligen Exponenten existieren darüber hinaus die folgenden Integrationsregeln:

\begin{align*} \int{\sech^{-1}(x)\ dx} &= \sinh(x) + \mathcal{C} \\[0.75em] \int{\sech^n(x)\ dx} &= \frac{1}{n-1} \cdot \tanh(x) \cdot \sech^{n-2}(x) + \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\sech^{n-2}(x)\ dx} \quad(\text{für } n \gt 1) \\[0.75em] \int{\sech^n(x)\ dx} &= -\frac{1}{n} \cdot \tanh(x) \cdot \sech^n(x) + \frac{n+1}{n} \cdot \int{\sech^{n+2}(x)\ dx} \quad(\text{für } n \lt -1) \end{align*}

Hinweis: Bei $\mathcal{C}$ handelt es sich wie üblich um die Integrationskonstante.

Reihenentwicklung

Hauptartikel: Sekans hyperbolicus (Reihenentwicklung)

Die Sekans-hyperbolicus-Funktion besitzt die folgende Reihenentwicklung:

\begin{align*} \sech(x) &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{E_{2k}}{(2k)!} \cdot x^{2k}} \\[0.75em] &= 1 - \frac{1}{2} x^2 + \frac{5}{24} x^4 - \frac{61}{720} x^6 + \frac{277}{8064} x^8 - \ldots \end{align*}

Identitäten

Mithilfe der folgenden Formeln kann die Sekans-hyperbolicus-Funktion durch die anderen Hyperbelfunktionen dargestellt werden:

\begin{align*} \sech(x) &= \frac{1}{\sqrt{1 + \sinh^2(x)}} \\[0.75em] &= \frac{1}{\cosh(x)} \\[0.75em] &= \sqrt{1 - \tanh^2(x)} \\[0.75em] &= \frac{\sqrt{\coth^2(x) - 1}}{|\coth(x)|} \\[0.75em] &= \frac{|\csch(x)|}{\sqrt{1 + \csch^2(x)}} \end{align*}